中小学教育资源及组卷应用平台 专题02 勾股定理 一、【知识回顾】 【思维导图】 【勾股定理知识清单】 1.勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么 变式： 1）a =c - b 2）b =c - a 2.适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 【勾股定理的证明知识清单】 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 方法一：，，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为 所以 方法三：，，化简得证 【勾股数知识清单】 1.勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 2.常见的勾股数：如；；；等 扩展：用含字母的代数式表示组勾股数： 1）（为正整数）； 2）（为正整数） 3）（，为正整数） 注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。 【勾股定理的逆定理知识清单】 1.内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 注意： ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较， ②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 【勾股定理的方法技巧】 1.方程勾股，利用勾股定理构建方程求解 2.等面积法 二、【考点类型】 考点1：勾股定理 典例1：（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，． (1)设点P在线段上，连接，若，求的长； (2)设点M在线段上，若是等腰三角形，求的长． 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，于点D，，求： (1)的长； (2)的长． 【变式2】（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【变式3】（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，是等腰三角形，，点是边上的一点，连接． (1)若的周长是，，点是的中点，求的长； (2)若，，，求的面积． 【变式4】（23-24九年级上·江苏·期末）在中，． (1)求的长； (2)求的面积．（结果保留根号） 【变式5】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，在中，． (1)用直尺和圆规在线段边上找一点D，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，连接，求的长． 考点2：勾股定理的证明 典例2：（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c． 探究： （1）用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①小正方形的边长为c，大正方形的边长为_____； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式_____，整理得，从而验证勾股定理； 应用： （2）将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 【变式1】（23-24八年级下·广东中山·开学考试）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c，将它们拼成如图2 的大正方形，请 ... ...
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