【考点一遍过】微专题02 因式分解经典应用通关专练（原卷+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 微专题02 因式分解经典应用通关专练 一、解答题 1．（2023下·浙江·七年级期中）解答下列问题： （1）当时，代数式_____． （2）当_____时，代数式的值为0； （3）求代数式的最小值． 【答案】（1）0；（2）-3；（3）2 【分析】（1）将x=2代入代数式x2-4x+4中，即可求得代数式的值； （2）解方程x2+6x+9=0，求出x的值，即可解答本题； （3）将代数式变形，然后根据非负数的性质，即可得到代数式x2+8x+18的最小值； 【详解】解：（1）当x=2时， x2-4x+4=22-4×2+4=0； （2）∵x2+6x+9=0， ∴（x+3）2=0， ∴x=-3； （3）∵x2+8x+18=（x+4）2+2， ∴当x=-4时，x2+8x+18取得最小值2． 【点睛】本题考查因式分解的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式和非负数的性质解答． 2．（2023下·浙江嘉兴·七年级校联考期中）如图①，有三张卡片，分别为边长为、的长方形，边长为的正方形及边长为的正方形； (1)用九张卡片拼成了如图②的一个大长方形， 用一个多项式表示图②的面积：_____； 用两个整式的积表示图②的面积：_____； (2)利用上述面积的不同表示方法，写出一个整式乘法或因式分解的等式：_____； (3)如果用若干图①中的卡片，拼成了一个面积为的长方形，请求出这个长方形的边长； 【答案】(1)； (2) (3)这个长方形的边长为和． 【分析】（1）图②是由2个大正方形，2个小正方形，5个长方形组成，把面积相加即可得出答案；图②也可以看作由长为，宽为的长方形，由此即可得到答案； （2）根据（1）中两种表示的图②的面积相等列出等式即可； （3）根据即可求解. 【详解】（1）解：由题意得， 用一个多项式表示图②的面积：； 用两个整式的积表示图②的面积：； 故答案为：；； （2）解：由（1）得； 故答案为：； （3）解：∵， ∴拼成了一个面积为的长方形， 这个长方形的边长为和． 【点睛】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． 3．（2023下·江苏无锡·七年级统考期中）先阅读右侧的内容，再解决问题． 例题：若，求m和n的值． ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， （1）若，请问是什么形状？说明理由． （2）若xy=1()，且，求的值． （3）已知，，求的值． 【答案】（1）△ABC是等腰三角形， （2）4； （3）3． 【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据偶次方、绝对值的非负性求出a、b、c，根据等腰三角形的概念判断； （2）把xy＝1变形，把原式化为非负数的和的形式，计算即可； （3）根据配方法把原式变形，根据偶次方、绝对值的非负性解答即可． 【详解】解：（1）△ABC是等腰三角形， 理由如下：a2+b2﹣8a﹣10b+41+|5﹣c|＝0， a2﹣8a+16+b2﹣10b+25+|5﹣c|＝0， （a﹣4）2+（b﹣5）2+|5﹣c|＝0， a﹣4＝0，b﹣5＝0，5﹣c＝0， 解得，a＝4，b＝5，c＝5， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵xy＝1， ∴y＝， 则x2﹣2+（）2+|z﹣3|＝0， （x﹣）2+|z﹣3|＝0， x﹣＝0，z﹣3＝0， ∵x＞0， ∴x＝1，z＝3， 则y＝1， ∴zx+y＝31+1＝4； （3）∵a﹣b＝4， ∴b＝a﹣4， a（a﹣4）+c2﹣6c+13＝0， a2﹣4a+4+c2﹣6c+9＝0， （a﹣2）2+（c﹣3）2＝0， 则a＝2，c＝3， ∴b＝a﹣4＝﹣2， ∴a+b+c＝2+（﹣2）+3＝3． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 4．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）小明同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 (2)小明想要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要边长为m的大正方形 个，边长为n的小正方形 个，长为m ... ...