19.3.3．正方形 知识梳理 1．有一个角是__ __，且有一组邻边__ __的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的四条边都__ __，四个角都是直角． 3．正方形的对角线__ __且互相__ __． 4．有一个角是__ __的菱形是正方形． 5．有两条邻边__ __的矩形是正方形． 正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形，更是特殊的平行四边形，因此正方形具有这些图形的所有性质，不能因疏忽出错． 重难突破 重难点 正方形的判定与性质的综合运用 【典例】如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，点G在BC边上． (1)求证：四边形BEFG是矩形； (2)PG与PC的夹角为_____°时，四边形BEFG是正方形，请说明理由． 本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识．综合性比较强，解题时要注意数形结合思想的应用． 【对点训练】 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是对角线AC上的一点，连接DE.过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG. (1)求证：矩形DEFG是正方形； (2)求AG＋AE的值； (3)若F恰为AB中点，请直接写出正方形DEFG的面积． 课堂10分钟 1．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( ) A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 2．如图，在正方形ABCD中，E为边BA延长线上一点，点F在边BC上，且AE＝CF，连接DF，EF.若∠FDC＝α，则∠AEF＝( ) A．90°－2α B．45°－α C．45°＋α D．α 3．如图，E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F.若∠CDE＝36°，则∠DCF的度数为( ) A．27° B．36° C．25° D．30° 4．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，BC的延长线上，且BE＝CF，设AD＝a，AE＝b，AF＝c.给出下面三个结论：①a＋b＞c；②2ab＜c2；③＞2a.上述结论中，所有正确结论的序号是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 5．如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形； ②当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形； ③当∠BAC＝90°时，四边形ADFE是矩形； ④当AB＝AC，且∠BAC＝90°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有__ __(填上所有正确结论的序号). 6．如图，在 ABCD中，∠A＝45°，过点D作ED⊥AD交AB的延长线于点E，且BE＝AB，连接BD，CE. (1)求证：四边形BDCE是正方形； (2)P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且PM＝PB，∠DPN＝∠BPM.求证：AN＝PB.19.3.3．正方形 知识梳理 1．有一个角是__直角__，且有一组邻边__相等__的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的四条边都__相等__，四个角都是直角． 3．正方形的对角线__相等__且互相__垂直平分__． 4．有一个角是__直角__的菱形是正方形． 5．有两条邻边__相等__的矩形是正方形． 正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形，更是特殊的平行四边形，因此正方形具有这些图形的所有性质，不能因疏忽出错． 重难突破 重难点 正方形的判定与性质的综合运用 【典例】如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，点G在BC边上． (1)求证：四边形BEFG是矩形； (2)PG与PC的夹角为_____°时，四边形BEFG是正方形，请说明理由． 解：(1)∵在正方形ABCD中，∠ABC＝90°， ∴∠EBG＝90°， ∴平行四边形BEFG是矩形． (2)90； 理由：如图，延长GP交DC于点H， ∵正方形ABCD和平行四边形BEFG中，AB∥DC，BE∥GF， ∴DC∥GF， ∴∠HDP＝∠GFP， ∠DHP＝∠FGP. ∵P是线段DF的中点 ... ...
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