沪科版八年级下册19.3.1 矩形 同步练习（2个课时,学生版+答案版）

19.3.1．矩形 第1课时　矩形的性质 知识梳理 1．有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的四个角都是__直角__． 3．矩形的对角线__相等__． 4．直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一半__． 矩形是一种特殊的平行四边形，并非所有的平行四边形都是矩形，矩形具有平行四边形的所有性质． 重难突破 重难点　矩形性质与推论的综合运用 【典例】如图，矩形ABCD的边AB，BC的长分别为12，5，延长BC至点E，CE＝10，连接AE并取AE的中点F，连接CF，DF，求CF的长． 解：延长DF交BE于点G. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，∠BCD＝90°， ∴∠DAF＝∠E，∠ADF＝∠EGF. ∵F是AE中点， ∴AF＝EF， ∴△ADF≌△EGF(AAS)， ∴GE＝AD＝5，DF＝FG. ∵CE＝10， ∴CG＝CE－EG＝10－5＝5. ∵CD＝12， ∴DG2＝CD2＋GC2＝122＋52＝132， ∴DG＝13. ∵∠DCG＝180°－90°＝90°，FD＝FG， ∴CF＝DG＝6.5. 矩形的性质经常结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质综合运用，必要时添加辅助线作为证明或计算时沟通已知与结论的桥梁． 【对点训练】 1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，延长BD至点E，延长DB至点F，使BF＝DE. (1)求证：四边形AFCE是平行四边形； (2)若∠ECA＝90°，∠CEF＝30°，试判断BD与EF之间的数量关系，并说明理由． (1)∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵BF＝DE. ∴OF＝OE， ∴四边形AFCE是平行四边形； (2)BD＝EF. 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD＝AO＝CO. ∵∠ACE＝90°，∠CEF＝30°， ∴OC＝OE，∴OD＝OE. ∵OF＝OE，∴OB＝OF， ∴BD＝EF. 2．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝6，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是CD，DA延长线上的点，且DE＝3，AF＝2，连接EF，G为EF的中点．连接OE，交AD于点H，连接GH. (1)猜想：H是OE的中点吗？并加以证明； (2)求GH的长． (1)H是OE的中点． 证明：取AD中点N，连接ON，如图． ∵在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴BO＝DO，AB∥CD. 又∵N是AD的中点， ∴AN＝DN＝2，ON∥AB，ON＝AB＝4， ∴ON∥CD，ON＝ED＝4，∠ANO＝∠DAB＝90°， ∴∠NOH＝∠DEH. 在△NHO和△DHE中， ∴△NHO≌△DHE(AAS)， ∴EH＝HO，∴H是OE的中点； (2)如图，连接OF. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°. ∵ON∥DC，∴∠FNO＝∠ADC， ∴∠FNO＝90°. ∵AD＝4，N是AD的中点， ∴AN＝AD＝2. ∵AF＝2，∴FN＝4. ∴在△FON中，∠FNO＝90°，ON＝3，FN＝4. 由勾股定理，得OF＝5. ∵G是EF的中点，H是OE的中点， ∴GH＝OF＝. 课堂10分钟 1．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，连接DO.若AB＝12，AD＝16，则DO的长为(　D　) A．7 B．8 C．9 D．10 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.对角线AC，BD相交于点O.点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为(　D　) A．6 B．7 C．8 D．9 ∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC. 在Rt△BAD中，∵BD＝＝＝10， ∴OD＝OA＝OB＝5. ∵E，F分别是AO，AD中点， ∴EF＝OD＝，AE＝，AF＝4， ∴△AEF的周长为9. 3．如图，在矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为－1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于点M，则点M的坐标为(　C　) A．(2＋，0) B．(2＋1，0) C．(2－1，0) D．(2，0) 4．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝6，点E在AD上，DE＝2.若EC平分∠BED，则BC的长为__10__． ∵EC平分∠BED，∴∠BEC＝∠CED. ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DEC＝∠BCE， ∴∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC. ∵BE2＝AB2＋AE2， ∴BC2＝36＋(BC－2)2，∴BC＝10. 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则 ... ...