18．2　勾股定理的逆定理 同步学案（含答案）

18．2　勾股定理的逆定理 知识梳理 1．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是__ __． 2．能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为__ __． 勾股数一定是正整数，满足n2－1，2n，n2＋1(n>1，且n是正整数)关系的一定是勾股数． 重难突破 重难点　勾股定理的逆定理的运用 【典例】如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝12，AC⊥BC，D为△ABC内一点，且CD＝3，BD＝4. (1)求BC的长； (2)求图中阴影部分(四边形ABDC)的面积． 计算图形的面积一般是将图形进行分割(或组合)后，借助于勾股定理及其逆定理参与运算，通过直角三角形计算其面积． 【对点训练】 1．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，DE是△ABD的边AB上的高，E为垂足，且AD＝，BD＝2. (1)试判断△ABD的形状，并说明理由； (2)求DE的长． 课堂10分钟 1．下列各组数，是勾股数的是(　　) A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3 C．1，2，3 D．5，12，13 2．若a，b，c是直角三角形的三条边，下列说法正确的是(　　) A．a2，b2，c2能组成三角形 B．3a，3b，3c能组成直角三角形 C.a＋3，b＋4，c＋5能组成直角三角形 D．3a，4b，5c能组成直角三角形 3．下列各组数中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(　　) A．3，4，5 B．5，12，13 C．1，，2 D．，2， 4．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝10，根据尺规作图痕迹，线段AD的长为(　　) A． B． C．2 D．5 5．一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为__ __． 6．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2－AE2＝AC2. (1)求证：∠A＝90°； (2)若AC＝3，BD＝2.5，求AE的长．18．2　勾股定理的逆定理 知识梳理 1．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是__直角三角形__． 2．能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为__勾股数__． 勾股数一定是正整数，满足n2－1，2n，n2＋1(n>1，且n是正整数)关系的一定是勾股数． 重难突破 重难点　勾股定理的逆定理的运用 【典例】如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝12，AC⊥BC，D为△ABC内一点，且CD＝3，BD＝4. (1)求BC的长； (2)求图中阴影部分(四边形ABDC)的面积． 解：(1)在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， ∴BC2＝AB2－AC2＝132－122＝25，∴BC＝5； (2)∵CD＝3，BD＝4，BC＝5， ∴CD2＋BD2＝BC2， ∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°， ∴S△BCD＝BD·CD＝×4×3＝6. ∵S△ABC＝AC·BC＝×12×5＝30， ∴S四边形ABDC＝S△ABC－S△BCD＝24. 计算图形的面积一般是将图形进行分割(或组合)后，借助于勾股定理及其逆定理参与运算，通过直角三角形计算其面积． 【对点训练】 1．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积． ∵∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形． 又∵AB＝3，BC＝4， ∴根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2，∴AC＝5. 又∵CD＝12，AD＝13， ∴AD2＝132＝169，CD2＋AC2＝122＋52＝144＋25＝169，∴CD2＋AC2＝AD2， ∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°， 则S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·CD＝×3×4＋×5×12＝36， 故四边形ABCD的面积是36. 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，DE是△ABD的边AB上的高，E为垂足，且AD＝，BD＝2. (1)试判断△ABD的形状，并说明理由； (2)求DE的长． (1)△ABC是直角三角形．理由如下： ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝＝5， ∵AD2＋BD2＝()2＋(2)2＝25＝AB2， ∴△ABD是直角三角形， (2)∵△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，DE⊥AB，∴△ABD的面积＝AB·DE＝AD·BD，∴DE＝＝ ... ...