§1 指数幂的拓展 学习任务 核心素养 1．理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点) 2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法．(易混点) 1．通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养． 2．通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养． 1．正分数指数幂的定义是什么？ 2．负分数指数幂的定义是什么？ 1．正分数指数幂 (1)定义：给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝．这就是正分数指数幂． (2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂满足：．②＝． 2．负分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义＝． 能否将＝－3写成＝－3 [提示] 不能．因为在指数幂的概念中，总有a>0．于是，尽管有＝－3，但不可以写成＝－3的形式． 1．把下列各式中的b(b>0)写成分数指数幂的形式： (1)b4＝35； (2)b-3＝32. [解] (1)∵b4＝35，∴b＝． (2)∵b-3＝32，∴b＝． 2．计算： ＝_____； ＝_____． (1)2 (2) [(1)设b＝，由定义，得b3＝8，b＝2，所以＝2. (2)由负分数指数幂的定义，得. 设b＝，由定义，得b3＝272＝93，b＝9， 所以.] 类型1 根式的化简与求值 【例1】 化简： (1)(x＜π，n∈N*)； (2). [解] (1)∵x＜π，∴x－π＜0. 当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，＝x－π. 综上可知， (2) 正确区分与 (1)表示a的n次方的n次方根，而表示a的n次方根的n次方，因此从运算角度看，运算顺序不同． (2)运算结果不同 ①＝a.② [跟进训练] 1．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是( ) A．x＞0，y＞0 B．x＞0，y＜0 C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0 B [∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0. 又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B.] 2．若，则实数a的取值范围为_____． [＝＝1－2a.因为|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤.] 类型2 根式与分数指数幂的互化 【例2】 可化为( ) A． B． C． D． (2)可化为( ) [思路点拨] 熟练应用是解决该类问题的关键． (1)D (2)A [. (2).] 根式与分数指数幂的互化规律 (1)关于式子的两点说明 ①根指数n即分数指数的分母； ②被开方数的指数m即分数指数的分子． (2)通常规定中的底数a>0. [跟进训练] 3．将下列各根式化为分数指数幂的形式： (1)；(2). [解] (1). (2). 类型3 求指数幂的值 【例3】 求下列各式的值： ；. [思路点拨] 结合分数指数幂的定义，即满足bn＝am时＝b(m，n∈N＋，a，b>0)求解． [解] (1)设＝x，则x3＝642＝4 096， 又∵163＝4 096，∴＝16. (2)设＝x,则x4＝81-1＝， 又∵，∴. 解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂． [跟进训练] 4．求下列各式的值： ；. [解] (1)设＝x，则x3＝125， 又∵53＝125， ∴＝5. (2)设＝x，则x7＝128-1＝， 又∵， ∴. 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) 表示个2相乘． ( ) (a>0，m，n∈N＋，且n>1)． ( ) (a>0，m，n∈N＋，且n>1)． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ 2．可化为( ) [答案] A 3．计算等于( ) A．9 B．3 C．±3 D．－3 B [由35＝243，得＝3.] 4．若b-3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝_____． [答案] 5．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)． (1)＝_____； (2)＝_____． [(1). (2).] 课时分层作业(二十) 指数幂的拓展 一、选择题 1．下列各式正确的是( ) A．＝－3 B．＝a C．＝－2 D．＝2 C [由于＝－2，故选项A，B，D错误，故选C.] ＝( ) A． B． C． D． D [，设b＝，则b4＝，所以b＝(b>0)，所以. 故选D.] 3．下列各式中正确的是( ) A． B． C． D ... ...
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