中小学教育资源及组卷应用平台 费马点最值模型 1如图,已知矩形ABCD, AB=4, BC=6,点M为矩形内一点, 点E为BC边上任意一点, 则 MA+MD+ME 的最小值为 ( ) D. 10 2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30° ,AB=2.若点P是△ABC内一点,则 PA+PB+PC 的最小值为 . 3两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示.若∠α=30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 . 4已知到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果△ABC是锐角(或直角)三角形，则其费马点P 是三角形内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°. (例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点). (1).若 P为△ABC 的费马点, 则 PA+PB+PC= ; (2).若 P为△ABC 的费马点, 则PA+PB+PC= . 5问题背景：如图1，将 绕点 A 逆时针旋转 得到 DE与BC交于点P，可推出结论： 问题解决：如图2，在 中， 点O是 内一点，则点O到， 三个顶点的距离和的最小值是 . 6如图，已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为 则这个正方形的边长为 . 7如图， 已知，在 中， 内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为2，求AC的长. 8在 中，若其内部的点P 满足 ，则称P为 的费马点.如图所示，在△ABC中， 已知， 设P为 的费马点，且满足 则 的面积为 . 9已知, 在△ABC中, ∠ACB=30° (1) 如图1, 当AB=AC=2, 求BC的值; (2) 如图2, 当AB=AC, 点P 是△ABC 内一点, 且1 求∠APC 的度数; (3)如图3,当 点P 是△ABC内一动点,则 PA+PB+PC的最小值为 . 10如图，点P 是正方形ABCD内一点，并延长AP 与DC 相交于点Q. (1) 若 求∠DPQ的大小; (2) 若PA+PB+PD的最小值为 请直接写出正方形ABCD的边长. 11如图, Rt△ABC中, ∠BAC=90° , AB=AC, 点D是BC边上一动点, 连接AD, 把AD绕点A 逆时针旋转90° , 得到AE,连接CE, DE. 点F是DE的中点, 连接CF. (1) 求证: (2)如图2所示, 在点D运动的过程中, 当BD=2CD时, 分别延长CF, BA, 相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论； (3) 在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点 P，使PA+PB+PC的值最小.当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP 的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长. 12如图，在平面直角坐标系中，点A，点B分别是y轴，x轴正半轴上的点，且OA 是等边三角形，且点C在第二象限，M为 平分线上的动点，将OM绕点O逆时针旋转( 得到ON,连 接CN,A M, B M. (1) 求证: (2) 若A 点坐标为(0,4) ; ①当 的值最小时，请直接写出点M的坐标； ②当 的值最小时，求出点M的坐标，并说明理由. 13(1) 【操作发现】如图1，将 绕点A 顺时针旋转( 得到 连接BD, 则 度. (2) 【类比探究】如图2, 在等边三角形ABC内任取一点P, 连接PA, PB, PC,求证： 以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形. (3) 【解决问题】如图3，在边长为 的等边三角形ABC 内有一点 P,∠APC=90° , ∠BPC=120° , 求△APC 的面积. (4) 【拓展应用】如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量 BC=5, ∠ACB=30°, P为△ABC内的一个动点, 连接PA, PB, PC. 求PA+PB+PC的最小值. 14阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题.1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答： 给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P 的位置. 托里拆利成功地解决了费马的问题.后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为△ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点. 问题解决： (1)费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法.如 ... ...
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