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课件网) 选择必修三 第六章 计数原理 6.3 二项式定理 6.3.2 二项式系数的性质 教学目标 学习目标 数学素养 1.掌握展开式中二项式系数的对称性、增减性与最大值. 1.类比归纳的数学素养和逻辑推理素养. 2.学会利用赋值法解决二项式系数和的相关问题. 2.数学运算素养和逻辑推理素养. 温故知新 1.二项式定理 2.二项展开式的通项公式 3.二项式展开式的特征 ⑴项数：共有n＋1项; ⑵Tk+1表示的是第k+1项，而不是第k项； . Tk+1. ⑶二项式系数:依次为 二项式系数与第k+1项的系数是两个不同的概念. 4.在二项式定理中，若设a=1,b=x.则得到公式： . 知新探究 (a+b)n展开式的二项式系数 用计算工具计算(a+b)n展开式的二项式系数，并填入下表 有很多有趣的性质, 而且我们可以从不同角度进行研究. n (a+b)n的展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 知新探究 从上表可以发现 , 每一行中的系数具有对称性 , 除此以外还有什么规律 观察上图，你还能发现哪些规律 为了便于发现规律, 上表还可以写成如下所示的形式. 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ①在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.即. 知新探究 ②在相邻的两行中, 除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和 .即 . 为了便于发现规律, 上表还可以写成如下所示的形式. 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 观察上图，你还能发现哪些规律 知新探究 对于确定的n，我们还可以画出它的图像．例如，当n=6 时，f(r)=Cnr (r∈{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6})的图象是7个离散点．如图所示. Cnr可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是： 对于(a+b)n展开式的二项式系数 还可以从函数角度来分析它们. {0,1,2，…，n}. ⑴观察上图，你发现了什么规律 ⑵请你分别画出n=7 , 8 , 9时f(r)=Cnr 的图象，比较它们的异同，你发现了什么规律 知新探究 直线将函数f(r)=Cnr 的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. 1.对称性 分析前面这些图形，可以得到二项式系数的以下性质： 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由Cnm = Cnn-m得到. 你能用组合的意义解释一下这个“组合等式”吗？ r=3 知新探究 即. 2.增减性与最大值 ∵. ∴当时,即时，Cnk随k的增加而增大.由对称性知，二项式系数的后半部分，即时，Cnk随k的增加而减小. 当n为偶数时，中间一项取最大值； 当n为奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值. 知新探究 2.增减性与最大值 r=3 二项式系数先增后减，关于 r= 对称. 当时，Cnk随k的增加而增大;当时，Cnk随k的增加而减小. 当n为偶数时，中间一项取最大值； 当n为奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值. 知新探究 3.各二项式系数的和 已知 . 令x =1，得 . 这就是说，(a+b)n展开式的各二项式系数的和等于2n. . ① 赋值法 知新探究 【例1】证明：在(a+b)n展开式中, 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 因此，我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和. 分析：由(a+b)n的展开式可知， 奇数项的二项式系数的和为 偶数项的二项式系数的和为 . . 由于中的a,b可以取任意实数， 实际上，a,b既可以取任意实数，也可以取任意多项式，还可以是别的.我们可以根据问题的需要灵活选取a,b的值. 知新探究 【例1】证明：在(a+b)n展开式中, 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 证明： 因此， . 即在(a+b)n展开式中, 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 在展开式， 中，令a=1, b= -1，则得 即, . . 赋值法 新知探究 因为， 又. 所以 . ... ...
