2025年中考数学三轮冲刺练习圆中相似三角形和锐角三角函数综合训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025年中考数学三轮冲刺练习圆中相似三角形和锐角三角函数综合训练 1．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的外接圆，点D是的中点，连结CD交AB于点E． （1）求∠DCB的度数． （2）如图2，过点A作AF⊥CD，连结OD，若，． ①若，求． ②连结OF，求OF的长． 2．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G． （1）求证：AG∥CD； （2）求证：PA2＝PG PB； （3）若，求tan∠AGB的值． 3．如图，BC是⊙O的直径，点A在上，点E是AC的中点，连接OE并延长交于点D，过点D作DF∥AC交BC的延长线于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线： （2）若点A为的中点，求证：四边形ACFD是平行四边形； （3）在（2）的条件下，若⊙O的半径长为4，连接BE，求tan∠OBE的值． 4．如图，AB为⊙O的直径，点C在BA的延长线上，D为⊙O上一点，连接AD，BD，E，F分别是AD，BD的中点，连接OE，OF，延长CD，OF交于点P． （1）求证：四边形OFDE是矩形； （2）若∠ADC＝∠EOA，求证：CD是⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，若，，求⊙O的半径． 5．如图，AB是半圆O的直径，动点C在半圆上，OD平分∠COB与圆O交于点D，连接CA． （1）求证：OD∥AC； （2）过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E，设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2． ①若，求tan∠ACO； ②若S1＝S2，则tan∠ACO＝　 　 （直接写出答案）． 6．如图1，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D为AC的中点，E为边BC上一点，连结AE，过点B作BG⊥AE于点G，⊙O经过点C，D，G，E，交射线BG于点F，连结CF． （1）求证：△BEG∽△BFC． （2）连结DF，CG，如图2，若∠DCG＝∠FBC．记BF交AC于点H，求的值． （3）当时（点D，G不重合），求tan∠BAE的值． 7．如图，点A，B，C在⊙O上且AB为直径，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB（∠CAB＜45°），点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧AC上）． （1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明； （2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1 S． ①请判断BD与AC的数量关系，并说明理由； ②直接写出tan2D的值； （3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，y＝AF BF，直接写出y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围． 8．如图1，⊙O的半径为10，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A，B两点，点C在⊙O上，且sin∠AOC，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O交于点Q． （1）求点C到OA的距离； （2）如图2，当PC与⊙O相切时，求AP的长； （3）如图3，连接AC，当AC∥OQ时，求AC与OQ之间的距离； （4）当tan∠OCP时，直接写出OP的长． 9．如图1，以点M（1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F． （1）填空：OE的长为　 　 ；OF的长为　 　 ；⊙M的半径为　 　 ；CH的长为　 　 ； （2）如图2，点P是直径CD上的一个动点（不与C、D重合），连结HP并延长交⊙M于点Q． ①当DP：PH＝3：2时，求cos∠QHC的值； ②设tan∠QHC＝x，y，求y与x的函数关系式． 10．已知点A，P，B，C在⊙O上，AB＝AC，点D在BP的延长线上，连接AD． （1）如图1，若AD∥BC，求证：AD是⊙O的切线； （2）如图2，若，ADPD，BP＝PD，，求AD的长． 11．如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，且满足AB＜AC．D是BC的中点，连结DO并延长交AC于点E，与BA的延长线交于点F，连结CO并延长交⊙O于点G，连结FG，AG． （1）若∠BAC＝60°，，求OC的长． （2）若FG与⊙O相切，G为切点． ①求证：△BDF∽△GAC； ... ...