4.4 幂函数（教学设计）

4.4 幂函数（教学设计） 教材分析 幂函数是在继一次函数、反比例函数、二次函数之后，又学习了单调性、最值、奇偶性的基础上，借助实例，总结出幂函数的概念，再借助图像研究幂函数的性质. 教学目标与核心素养 课程目标 1、理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的图象； 2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力． 数学学科素养 1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数； 2.逻辑推理：常见幂函数的性质； 3.数学运算：利用幂函数的概念求参数； 4.数据分析：比较幂函数大小； 5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。 教学重难点 重点：常见幂函数的概念、图象和性质； 难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小． 课前准备 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 教学过程 情景导入 我们已经知道，在关系式＝ 中，当底数a为大于０且不等于１的常数时： 如果把b作为自变量、N 作为因变量，则N 就是b的指数函数；如果把N 作为自变 量、b作为因变量，则b就是N 的对数函数 （即b=logaN）．那么，当b为常数时， 能否将底数a作为自变量、N 作为因变量来构造函数关系呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 预习课本，引入新课 阅读课本34-36页，思考并完成以下问题 1. 幂函数是如何定义的？ 2. 幂函数的解析式具有什么特点？ 3. 常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 新知探究 1．幂函数 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 幂函数的性质 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在R上是增函数 在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0]上是减函数 在R上是增函数 在[0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是减函数 公共点 (1,1) 四、典例分析、举一反三 题型一 幂函数的概念 例1 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值. 【答案】m=3 【解析】根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2. 当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数; 当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3. 解题技巧：（判断一个函数是否为幂函数） 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形 式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂 函数,则该函数必具有这种形式. 跟踪训练一 1.如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,求实数m的取值. 【答案】m=1或m=2. 【解析】　由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2; 当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件; 当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件. 综上所述,m=1或m=2. 题型二 幂函数的图象与性质 例2　已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示, 则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c1,02b>2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是a>b>c. 2.对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点: (1)恒过点(1,1),且不过第四象限. (2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为 ... ...