新民学校2024—2025学年度第一学期期中考试 高三数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（ ） A． B．4 C． D． 4．在△ABC中，内角满足，则△ABC的形状为（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 5．已知向量，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式，其中是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，t是时间，以年为单位．若按照关系式推算，经过年臭氧量还保留初始量的四分之一，则的值约为（）（ ） A．584年 B．574年 C．564年 D．554年 7．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A．16 B．12 C．8 D．4 8．已知则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数满足，则（ ） A． B． C．的虚部为8 D．在复平面内对应的点位于第一象限 10．已知数列的前项和，则（ ） A．不是等差数列 B． C．数列是等差数列 D． 11．（多选题）已知函数，则（ ） A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上的最大值为1 C．函数在点处的切线方程为 D．若关于的方程在区间上有两解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知平面向量，则 . 13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则 . 14．已知函数满足为的导函数， .若，则数列的前2025项和为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性． 16．在△ABC中，． （1）求； （2）若△ABC的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 △ABC存在且唯一确定，求a的值． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最值及相应的的值. 18．已知等比数列的各项均为正数，且，. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求的前n项和. 19．已知有穷数列的各项均为正整数，记集合的元素个数为. （1）若数列为，试写出集合，并求的值； （2）若是递增数列且，求证：是等比数列； 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B D D D B ACD BC 题号 11 答案 AC 6．D【详解】由题意知，， 则，解得年.故选：D． 7．D【详解】对求导得， 由得，则，即， 所以， 当且仅当时取等号．故选：D． 11．AC【详解】因为，， 所以， 令，即；令，即， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，故A正确； 因为，， 所以函数在区间上的最大值为4，故B错误； 因为，， 所以函数在点处的切线方程为， 即，故C正确；因为，函数大致图象如图， 要使方程在区间上有两解，则，故D错误. 12． 13．12 14． 【详解】由题意知，所以，即， 又因为，所以， 所以， ， 将两式相加可得：. 故答案为：. 15．【详解】（1）. 所以或时，，时，， 则在上递减，在递增，所以的极小值为，极大值为. （2）， 当时，，所以在上递增，当时，或时，；时，，所以在上递增，在上递减， 当时，或时，；时，， 所以在上递增；在上递减． 16．【详 ... ...
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