中小学教育资源及组卷应用平台 第七章 随机变量及其分布章末总结 知识点一 条件概率与全概率公式 （一）条件概率 1.定义：一般地，设为两个事件,且 ,称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率. 2. 概率的乘法公式 对任意两个事件与，若，则 设，则 ①； ②如果和互斥，那么 ； ③设和互为对立事件，则. （二）全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有我们称它为全概率公式. （三）贝叶斯公式： 设 知识点二 离散型随机变量 （一）离散型随机变量及其分布列 1. 随机变量：一般地，对于随机试验样本空间中每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量；随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量. 2 分布列 (1)概念:一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值的概率，则称以下表格 为随机变量的概率分布列，简称的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质 (3)两点分布 如果随机变量的分布列为 则称服从两点分布，并称为成功概率. (二）离散型随机变量的数字特征 1 离散随机变量的均值（数学期望） 一般地，随机变量的概率分布列为 则称 为的数学期望或均值，简称为期望. 它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了离散型随机变量取值的平均水平. 若 ，其中为常数，则也是变量，则 ，即 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么 ，即若服从两点分布，则 4.离散型随机变量取值的方差和标准差 （1）一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为 则称 为随机变量的方差，有时候也记为，并称为随机变量的标准差，记为。 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差越小，随机变量的取值越集中；方差越大，随机变量的取值越分散. 一般地， 证明 知识点三 二项分布与超几何分布 （一） 二项分布 1.重伯努利试验 （1）我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验,比如产品的合格或不合格,医学检验结果的阳性或阴性； （2）将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验, （3）重伯努利试验具有如下共同特征 第一：同一个伯努利试验重复做次； 第二：各次试验的结果相互独立； 2.二项分布 (1) 概念：一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为用表示事件发生的次数,则此时称随机变量服从二项分布,记作 并称为成功概率.随机变量的分布列如下 （2）二项分布的期望与方差 一般地,如果那么. （二）超几何分布 1.概念：一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品,从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为： 其中. 如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布. 2. 超几何分布的期望 设随机变量服从超几何分布,则. 知识点四 正态分布 1 正态分布的概念 若连续型随机变量的概率密度函数为 其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为. 的图象称为正态曲线. 2 正态分布的期望与方差 若，则 3 正态曲线的性质 ① 曲线在轴的上方，与轴不相交； ② 曲线关于直线对称； ③ 曲线在时达到峰值； ④ 曲线与轴之间的面积为； ⑤ 当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐进线，向它无限靠近； ⑥ 曲线的形状由确定， 越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，峰值越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． 4若，取值不超过的概率为区域的面积，而为区域的面积. 5 原则 假设，对于给到的,是一个只与有关的定值，特别地， 考点一 条件概率 【例1-1】（24-25江苏）有6名研究员进入A、B、C三个实验舱，则恰有4名研究员在A舱的条件下甲和乙在A舱的概率为（ ） A． B ... ...
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