10.4 三元一次方程组的解法 1.掌握三元一次方程组的解法及“消元”思想. 2.能够根据方程组的特点，选择合适的未知数和方法消元． 3.能够由问题情境构建三元一次方程组． 问题 在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛.积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场? 思考（1）题目中有几个未知量? （2）题目中有哪些等量关系? （3）如何用方程表示这些等量关系? 设这支球队胜、平、负的场数分别为x，y，z.根据题意，可以得到下面三个方程 x+y+z=22 3x+y=47 x=4z+2 等量关系：①胜的场数+平的场数+负的场数=22； ②胜场积分+平场积分+负场积分=47； ③胜的场数=负的场数×4+2. 问题 在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛.积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场? 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成 x+y+z=22 3x+y=47 x=4z+2 这个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数 的项的次数都是1,一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组. 三元一次方程组必须满足的三个条件： 方程组中一共含有三个未知数. 含有未知数的项的次数都是1. 含有三个整式方程. (不一定每个方程都含有三个未知数) 1.下列方程组不是三元一次方程组的是 ( ) A. B. C. D. D 怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解．那么，能不能按照同样的思路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数 ，把它化成二元一次方程组呢？ x+y+z=22， ① 3x+y=47， ② x=4z+2. ③ 仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②并化简，得到两个只含y,z的方程y+5z=20和y+12z=41, 它们组成方程组 y+5z=20, y+12z=41. 解这个二元一次方程组，可以求出y和z，进而可以求出x. x+y+z=22， ① 3x+y=47， ② x=4z+2. ③ 从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是?：通过?“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组的思路是一样的. 三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程 分析：方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组. 解:②×3+③,得11x+10z=35.④ ①与④组成方程组 解这个方程组，得 例1 解三元一次方程组 3x+4z=7， ① 2x+3y+z=9， ② 5x-9y+7z=8. ③ 3x+4z=7， 11x+10z=35. x=5， z=-2. 把x=5,z=-2代入②, 得 2×5+3y-2=9, y=13. 三元一次方程组的解为 ? x=5， y=13， z=-2. ? 例2 在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60. 求a，b，c的值. 分析：把 a，b，c 看作未知数 把已知 x、y 值代入原式 a-b+c=0 4a+2b+c=3 25a+5b+c=60 怎样消元解方程组最简单? 解：根据题意，列得三元一次方程组 ②-①，得 ③-①，得 ④与⑤组成二元一次方程组 a+b=1， 4a+b=10. ④ ⑤ 解这个方程组，得 a=3， b=-2. 把a=2，b=-2代入①，得 因此a，b，c的值分别为3，-2，-5. a+b=1. ④ 4a+b=10. ⑤ c=-5. a-b+c=0 4a+2b+c=3 25a+5b+c=60 ① ② ③ 例3 一个三位数，各数位上的数的和为14,百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的13.如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数. ? 分析：把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相等关系，可以列 ... ...
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