2.1.1 倾斜角与斜率 教案

教学设计 2.1.1　倾斜角与斜率 教学内容 直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线的斜率公式. 教学目标 1.初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 3.掌握过两点的直线的斜率公式. 教学重点与难点 1.教学重点：理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系 2.教学难点：过两点的直线斜率的计算公式. 教学过程设计 1.课题引入 我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的代数 对象对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，实现通过 代数运算来研究几何图形性质的目的. 问题1：确定一条直线位置的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线L，如何利用坐标系确定它的位置？ 师生活动：教师引导学生回顾平面几何中的研究对象、研究方法的基础上，指岀本章要用坐标法对这些对象进行再研究，并说明坐标法与综合法的异同，特别要强调坐标法实现了对图形性 质的定量化研究. 设计意图：通过回顾，明确解析几何学的研究对象，使学生对坐标法形成初步印象，并引出本节的研究内容. 2.探究新知 问题2 如何表示直线的方向？ 师生活动：学生独立思考并回答.学生的最常见的回答是“朝向哪里就是什么方向”. 追问：怎么样确定一条直线的朝向呢？ 师生活动：教师引导学生，并给出相关结论。当直线 与 轴相交时，我们以 轴为基准， 轴正向与直线 向上的方向之间所成的角α叫做直线 的倾斜角 设计意图：引导学生在两点确定一条直线的基础上，认识到“一点和一个方向”也可以唯一确定一条直线，方向是直线的一个重要几何要素. 问题3 当直线 与 轴平行或重合时，其倾斜角大小为多少？直线的倾斜角的取值范围是什么？ 师生活动：学生可能会存在对于平行x轴的直线倾斜角的疑问。同时在上述探究过程中，学生的第一反应是与y轴的夹角.教师要做好引导，说明方向与夹角之间的关系，两者都描述了直线的倾斜程度. 设计意图：让学生通过观察该直线，当直线 与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为。并得出直线的倾斜角α的取值范围为 ≤α＜ ，并得出当直线的方向不同时，直线的倾斜程度不同，倾斜角不同. 问题4 直线 的倾斜角α与, ）, , ）有什么内在联系？ 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为α （1）已知直线 经过点O（0，0），P（，1），α与点O，P的坐标有什么关系？ （2）类似地，如果直线 经过点1，1）, ），α与点， 坐标又有什么关系？ 师生活动：教师提岀问题，引导学生体会向量法的优势，以及为什么要用正切函数来建立角与给定两点坐标之间的联系（作为比较，必要时可以引导学生分析用正弦函数或余弦函数的弊端）. 追问：你能将上述方法进行一般性的推广吗？ 师生活动：学生通过独立思考，将问题推广到一般情形，并自主探究解答.当的方向不同时，教师要引导学生讨论倾斜角与两点坐标的关系，得到计算公式后追问下面的问题. 问题5 当直线与 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 师生活动：学生通过上述问题四得研究，通过相同的方法继续探究是否上述式子成立. 设计意图：通过对特殊问题一般化的抽象得到倾斜角的正切值，即斜率的计算公式，并通过 师生对该公式意义的分析，发现它正是我们寻求的刻画直线方向的代数表达.这种形式能直接参 与代数运算，实现用代数方法处理几何问题的目的. 结论 直线 的倾斜角α与直线 上的两点, ）, , ）（ ≠ ）的坐标有如下关系： 问题6当直线的倾斜角变化时，直线的斜率如何变化？当直线的倾斜角是0°或90°时，直线的斜率是多少？ 师生活动：引导学生通过正切函数的概念以及单调性回答，可以画出正切函数的图象，帮助 学生理解其中的变化情况和特殊点的取值. 设计意图：结合正 ... ...