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课件网) 3.1.2 事件的独立性 1.了解相互独立事件的概念. 2.掌握相互独立事件发生的概率计算公式，并能运用其求解简单的概率问题. 由条件概率公式可知，在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|A)和事件 B发生的概率 P(B)一般不相等.这时，事件A的发生影响了事件B发生的概率，但是在某些特定的条件下，确实有P(B|A)=P(B)的情况.该情况就是 P(AB)=P(A)P(B)，即在必修部分学习过的事件A与事件B独立。而且A与B独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B是否发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A是否发生的概率，那么，这个直观理解是如何得出的呢？ 举例来讲，用A表示投掷一枚硬币得到正面，用B表示投掷一枚骰子得到点数6，则事件A与事件B独立. 事实上,若P(A)>0且P(AB)=P(A)P(B)时,由条件概率的计算公式有 即P(B|A)=P(B). 这就是说,此时事件B发生的概率与已知事件A发生时事件B发生的概率相等,也就是事件A的发生,不会影响事件B发生的概率. 反之,如果P(B|A)=P(B)成立,则 因此,当P(A)>0时,A与B独立的充要条件是P(B|A)=P(B). 这也就同时说明,当P(B|A)≠P(B)时,事件A的发生会影响事件B发生的概率,此时A与B是不独立的.事实上,“A与B独立”也经常被说成“A与B互不影响”等. 相互独立事件的定义 对任意两个事件A与B，如果 P(AB)=P(A)P(B) 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 通俗地说，对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件． 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)． 思考：必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立吗？ 根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，当然，他们也不影响其他事件的发生． 由于P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(A )=P( )=P(A)P( )成立．因此，必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立． 由事件的独立性定义，A与 相互独立. 对于A与 且AB与 互斥， 问题1：若事件A与B相互独立, A与 也相互独立吗？ 问题2： 与B， 与 也相互独立吗？ 归纳总结 1.必然事件 及不可能事件 与任何事件A相互独立； 2.若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立: A与 与B 与 一般地，当n(n>2)个事件A1，A2，…，An相互独立时，有以下公式成立：P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)． 例1 一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？ 此时P(AB)≠P(A)P(B), 解：∵样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n}, A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}，n(A)=6 B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，n(B)=6 AB={(1,2),(2,1)}，n(AB)=2 因此，事件A与事件B不独立. 判断两个事件相互独立的方法： ①定义法：P(AB)=P(A)P(B)； ②直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响. 归纳总结 例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8, 乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率： （1）两人都中靶； （2）恰好有一人中靶； （3）两人都脱靶； （4）至少有一人中靶. 解：设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”, A=“甲脱靶”, B= “乙脱靶”, (1) AB = “两人都中靶”，由事件独立性的定义，得 P(AB) =P(A)P(B) =0.8×0.9=0.72. 由已知得 P(A)=0.8，P(B)=0.9，P( A)=0.2，P( B)=0.1. ∴ A与B ，A与 B， A与 B也相互独立, 由于 甲、乙射击互不影响，∴A与B相互独立， (2)“恰好有一人中靶” =A B∪ AB, ... ...
