3.2.3 离散型随机变量的数学期望 课件（共21张PPT） 2024-2025学年高二数学湘教版（2019）选择性必修2

(课件网) 3.2.3 离散型随机变量的数学期望 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值. 2.理解离散型随机变量均值的性质. 3.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题. 问题 某射击手射击10次，所得环数分别是：6，6，6，6，7，7，7，8，8，9；平均环数是多少？ 换个角度看问题，把环数看成随机变量的概率分布列： 换个角度看问题，把环数看成随机变量的概率分布列： X 6 7 8 9 P 权数 加权平均数 问题1：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？ 把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列： X 18 24 36 P 问题2：甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示. 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢 解：假设射箭n次，甲n次射箭射中的平均环数为： 乙n次射箭射中的平均环数为： 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 ... xk ... xn P p1 p2 ... pk ... pn 则称 为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望). 离散型随机变量X的均值E(X)也可以用EX表示，它刻画了X的平均取值. 例1 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率是，乙获胜概率是.记X表示比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列与期望． 解：由题可知，X的可能取值为2，3，4，5， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝； 所以X的分布列为 数学期望E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝. X 2 3 4 5 P 例1 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率是，乙获胜概率是.记X表示比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列与期望． 归纳总结 求离散型随机变量X的数学期望的一般步骤： 已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示. X x1 x2 ... xk ... xn P p1 p2 ... pk ... pn 设a，b都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量. (1)列出Y的分布列，那么E(Y)如何表示？ (2)E(Y)与E(X)有什么联系？ (2)由X与Y之间分布列的关系可知 Y ax1+b ax2+b ... axk+b ... axn+b P p1 p2 ... pk ... pn (1)随机变量Y的分布列为 即 离散型随机变量的均值的性质 X，Y均为随机变量，若Y=aX+b，其中a，b均是常数，则E(aX+b)=aE(X)+b. 例2 已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求E(X). X 1 0 P p 1-p 解：随机变量X服从参数为p的两点分布，其分布列如下 所以E(X)=1×p+0×(1-p)=p. 归纳总结 随机变量X 均值公式 服从参数为p的两点分布 E(X)=p 二项分布X~N(n，p) 超几何分布X~H(N，M，n) E(X)=np 例3 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．求乙正确完成面试题数η的分布列及其期望． 解：设乙正确完成面试的题数为η，则η取值范围是{0，1，2，3}． P(η＝0)＝×()3＝，P(η＝1)＝×()1×()2＝， P(η＝2)＝×()2×()＝，P(η＝3)＝×()3＝. 应聘者乙正确完成题数η的分布列为 方法一　∴E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. 方法二　∵η～B(3，)，∴E(η)＝3×＝2 η 0 1 2 3 P 例4 某城市出租车的起步价为10元，即行驶 ... ...