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课件网) 3.3 正态分布 1.通过具体实例，借助频率直方图，了解正态曲线的概念及特征. 2.了解正态分布的“3σ原则”. 3.会用正态分布去解决实际问题. 已知X服从参数为100，0.5的二项分布，即X~B(100，0.5)，那么P(X=50)的具体数值为多少？ 可以看出，若X~B(n，p)，当n较大时，直接计算P(X=k)的值将是十分困难的. 若X~B(6，)，则X的分布列如下， X 0 1 2 3 4 5 6 P X的分布列可以用右图直观表示出来，其中每个矩形的宽为1，高为对应的概率值. 问题：观察前面的直观图，说说它有什么特点？ (1)中间高、两边低； (2)图形关于X=3对称，且E(X)=3； (3)某一整数k上方的矩形面积正好等于P(X=k)， 其中，k=0,1,2,3,4,5,6； (4)所有矩形的面积之和为1. 下图为服从二项分布的不同随机变量分布列的直观图. 问题：(1)上述两幅图像是否也符合X~B(6， )的图像特征？ (2)当参数n逐渐变大时，图形有什么变化？试想一下，如果参数n充分大，图形又会有什么改变呢？ 当参数n逐渐变大，图形会越来越密；当参数n充分大，整个图形的上端可以连接成一条光滑的曲线. 符合 其中：μ=E(X)，即X的均值； ，即X的标准差. 一般地，φ(x)对应的图像称为正态曲线，φ(x)称为X的概率密度函数. 此时，我们称随机变量X服从参数μ ，σ2的正态分布，简记为X~N(μ ，σ2 ). 正态曲线 特别地，当μ=0， σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布，即X~N(0，1). 思考：结合函数解析式和下列图像，说说正态曲线具有哪些性质？ 正态曲线的性质： （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交； （2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称； （3）曲线在x=μ处达到峰值 (最高点)； （4）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； （5）σ越大，正态曲线越扁平， σ越小，正态曲线越尖陡； （6）x轴与正态曲线所夹面积恒等于1 . 归纳总结 例1 已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示． (1)写出此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式； (2)求出总体随机变量的期望与方差． 解：(1)由图可知该正态曲线关于直线x＝8 000对称，最大值为， 所以μ＝8 000， 由＝，解得σ＝500， 所以概率密度函数的解析式为φ(x)＝. (2)则总体随机变量的均值为8 000，方差为250 000. 例2 若X~N(μ，σ2)，说说下列概率大小为多少？ (1)P(X≤μ)； (2)P(|X-μ|≤σ)； (3)P(|X-μ|≤2σ)； (4)P(|X-μ|≤3σ). 解：(1)P(X≤μ)= P(X≥μ)=50%， (2)P(|X-μ|≤σ)= P(μ-σ≤X≤μ+σ) ≈68.27％， (3)P(|X-μ|≤2σ)= P(μ-2σ≤X≤μ+2σ) ≈95.45％， (4)P(|X-μ|≤3σ)= P(μ-3σ≤X≤μ+ 3σ) ≈99.73％. 正态分布的“3σ原则”： 在实际应用中，通常认为服从于正态分布X~N(μ，σ2)的随机变量X只取 [μ－3σ ， μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 由正态曲线的性质及前面例题可知，如果X~N(μ，σ2)，那么： P(X≤μ )= P(X≥μ )=0.5， P(|X –μ|≤σ)= P(μ-σ≤X≤μ+σ ) ≈68.27％， P(|X –μ|≤2σ)= P(μ-2σ≤X≤μ+2σ ) ≈95.45％， P(|X –μ|≤3σ)= P(μ- 3σ≤X≤μ+ 3σ ) ≈99.73％. 例3 在某次数学考试中，假设考生的成绩ξ服从正态分布ξ~N(90，100). (1) 求考试成绩ξ位于区间(70，110)上的概率； (2) 若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人. 解：∵ξ~N(90，100)，∴μ=90，σ=10， (1)∵μ-2σ=90-2×10=70，μ+2σ=90+2×10=110， ∴由正态分布的性质可得P(70＜ξ＜110)=0.9545. (2)∵μ-σ=90-10=80，μ+σ=90+10=100， ∴由正态分布的性质可得P(80＜ξ＜100)=0.6827. ∴200名考生中考试成绩在(80，100)间的考生大约有2000×0.6827≈1365(人). ... ...
