2025年九年级数学中考三轮冲刺训练正方形中的相似三角形综合问题（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025年九年级数学中考三轮冲刺训练正方形中的相似三角形综合问题 1．如图，E，F是正方形ABCD边AB，BC上点，∠EDF＝45°． （1）在图（1）中，延长BC至点G，使CG＝AE，并连接DG，求证：△ADE≌△CDG； （2）在图（2）中，若∠BFE＝45°，求tan∠ADE值； （3）在图（1）中，连接AC分别交DE，DF于点M，N，求的值． 2．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，将四边形ABCE沿直线CE折叠，点A、B的对应点分别为点N、M，AD的延长线分别与MN、CM延长线交于点F、G． （1）如图①，求证：EG＝CG； （2）如图②，若F为MN的中点，求证：∠MDN＝90°； （3）如图③，在（2）的条件下，连接ND并延长，分别交CE、BC于点P、Q，求的值． 3．如图，矩形ABCD中，E，F在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H． （1）求证：△EDP∽△PCH． （2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长． （3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由． 4．正方形ABCD边长为3，点E是CD上一点，连结BE交AC于点F． （1）如图1，若CE＝1，求CF的值； （2）如图1，，若，求m的值． （3）如图2，点G为BC上一点，且满足∠GAC＝∠EBC，设CE＝x，GB＝y，试探究y与x的函数关系． 5．在正方形ABCD，E，F分别是射线BC，CD上的点，AE⊥BF于点G．如图，若点E是BC边上的点．延长BF交AD的延长线于点H，连结CH． （1）求证：△BEF∽△BCH； （2）连结ED，若AB＝4，BE＝3，直接写出tan∠BHC的值 　 　 ； （3）延长BF交射线AD于点H，连结CG，CH，若，求的值（用含k的代数式表示）． 6．（1）如图1，四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BFE＝90°． ①求证：△BDE∽△BCF；②线段DE与CF的数量关系是 　 　 ； （2）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转，当旋转到点F在DE的延长线上时，EF与BC相交于点G， ①如图2，当点G是BC的中点时，若，求线段CF的长； ②如图3，当点G不是BC的中点时，设DE的中点为H，连接AH，判断线段AH，FH的关系，并说明理由． 7．已知点E为正方形ABCD内一点，∠AED＝90°． （1）过点B作BF⊥AE交AE的延长线于点F； ①如图1，求证：AF＝DE； ②如图2，连接CE，CF，若CE＝4，求四边形CDEF的面积； （2）连接BE，CE，延长BE交AD于点G，若CE＝CB，则　 　 ． 8．如图1，在正方形ABCD中，AB＝5，M为对角线BD上的一点（不与点B，D重合），N为边AB上一点，连接CM，MN，且MN＝CM． （1）求证：MN⊥MC； （2）若∠DCM＝30°，求的值； （3）如图2，连接NC交BD于点G，若，求BN的长． 9．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 　 　 ； （2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，四边形DEFG是垂等四边形，且∠EFG＝90°，AF＝CG． ①求证：EG＝DG； ②若BC＝n BG，求n的值； （3）如图2，在Rt△ABC中，，，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD．过点D作CB的延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，求四边形ACBD的面积． 10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE，EF，CF． （1）若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点． ①如图1，当∠FEC＝90°时，求证：△AEF∽△DCE； ②如图2，当tan∠FCE时，求AF的长； （2）如图3，延长CF，DA交于点G，当GE＝DE，sin∠FCE时，求证：AE＝AF． 11．如图，E为平面内一点，以正方形ABCD的顶点A为旋转中心，将线段AE顺时针旋转90°得到线段AF，连接BF． （1）如图（1），当点E在边CD上时，求证：DE＝BF； （2）如图（2），当点E在对角线BD上时，连接EF，若AB＝4，BE＝3DE，求EF的长； （3）如图（3），当点E在线 ... ...