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课件网) 第六章 平面向量及其应用 答案:B 11 120° 答案： ○ 21世织纪教痘 2订世看 ,27G2@PA级 基础巩固 1.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.12 解析:因为(a+2b)·(a-3b)=-72,所以|a|2-a·b-6|b|2=-72.因为a·b=|a|×4cos 60°=2|a|,所以|a|2-2|a|-96=-72,解得|a|=6. 答案:C 2.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|=( ) A. B. C. D.4 解析:因为|a+3b|2=(a+3b)2=a2+9b2+6a·b=1+9+6|a||b|cos 60°=13,所以|a+3b|=. 答案:C 3.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为 ( ) A.-6 B.6 C.3 D.-3 解析:因为c与d垂直,所以c·d=0,所以(2a+3b)·(ka-4b)=0,所以2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0,又a·b=0,所以2k=12,所以k=6. 答案:B 4.多选题对任意向量a,b,下列关系式中恒成立的是 ( ) A.|a·b|≥|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2 解析:根据a·b=|a||b|cos θ,且cos θ ≤1,知|a·b|≤|a||b|,选项A不成立;当向量a和b方向不相同时,|a-b|>||a|-|b||,选项B不成立;根据|a+b|2=a2+2a·b+b2=(a+b)2,选项C恒成立;根据向量的运算性质得(a+b)·(a-b)=a2-b2,选项D恒成立. 答案:CD 5.在△ABC中,若||=3,||=8,∠ABC=60°,则||=7. 解析:因为=-,所以||2=(-)2=||2+||2-2·=82+32-2×8×3×cos 60°=49,所以||=7. 6.已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=. (1)求a与b的夹角θ; (2)求|a+b|. 解:(1)因为(a-b)·(a+b)=a2-b2=,|a|=1, 所以b2=a2-=1-=,所以|b|=. 所以cos θ===. 因为θ∈[0,π],所以θ=,故a与b的夹角为. (2)|a+b|===. B级 能力提升 7.(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,则a·b+b·c+c·a=-. 解析:由已知可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=9+2(a·b+b·c+c·a)=0,因此a·b+b·c+c·a=-. 8.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b的方向上的投影为-1. (1)求a与b的夹角θ; (2)求(a-2b)·b; (3)当λ为何值时,向量λa+b与向量a-3b互相垂直 解:(1)因为|a|=2|b|=2,所以|a|=2,|b|=1. 因为a在b方向上的投影为|a|cos θ=-1, 所以a·b=|a||b|cos θ=-1,所以cos θ=-. 因为θ∈[0,π],所以θ=. (2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3. (3)因为λa+b与a-3b互相垂直, 所以(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,所以λ=. C级 挑战创新 9.如图所示,在 ABCD中,若AB=1,AD=2,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD边上的中点,则·+·= ( ) - D.- 解析:易知四边形EFGH为平行四边形,如图所示,连接HF,取HF的中点O,连接OE, 则·=·=(-)·(+)=-=1-（）2=, ·=·=(+)·(-)=-=1-（）2=, 因此·+·=. 答案:A 10.(2022·浙江卷)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上,则++…+的取值范围是[12+2,16]. 解析:如图,连接OP,OA2,OA6,根据题意及向量加法的平行四边形法则可得+=(-)2+(-)2,易知与反向共线,所以+=[(2)2+(2)2]=2+2, 同理得,+=[(2)2+(2)2]=2+2,+=[(2)2+(2)2]=2+2, +=[(2)2+(2)2]=2+2, 所以++…+=8+8, 在△OA1A2中,易知1·cos ≤||≤1, 所以12+2≤8+8≤16,所以++…+的取值范围为[12+2,16]. ... ...
