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课件网) 第六章 平面向量及其应用 答案:(2,4) 0 【解题模型示范】 ○ 21世织纪教痘 2订世看 ,27G2@P 读 已知三点坐标，(1)证明线线垂直，(2)要使四边形为矩 形，求点C的坐标及对角线夹角的余弦值， 想 向量垂直的坐标表示，夹角公式. (1)因为点A(2,1),B(3,2),D(-1,4),所以AB= (1,1),AD=(-3,3),所以AB·AD=1×(-3)十 1×3=0,所以AB⊥AD,即AB⊥AD. (2)因为AB⊥AD,四边形ABCD为矩形， 所以AB=DC,设点C的坐标为(x,y), 则由AB=(1,1),知DC=(x+1,y-4), x+1=1, 算 得g41 (x=0, 解得 =5,所以点C的坐标为(0,5)， 所以AC=(-2,4),BD=(-4,2), 所以AC·BD=8+8=16,且|AC|=25,|BD= 2√5.设AC与BD的夹角为0， AC.BD 164 则c0s0= ACBD 20 5 所以矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值 为 5 方法规律：利用向量的数量积求两向量夹角的步骤， (1)求数量积：利用平面向量数量积的坐标表示公式求出 这两个向量的数量积. (2)求模：利用a=√/x2+y2计算出这两个向量的模 思 x1x2-y1y2 3)求余弦值：由公式cos0= √x十y·√/x+y2 直接求出cos0的值. (4)求角：在0≤0≤π内，由cos0的值求角.A级 基础巩固 1.(2024·新高考全国Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:因为a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a=(2,x-4),又b⊥(b-4a),所以2×2+x(x-4)=(x-2)2=0,解得x=2. 答案:D 2.在平面直角坐标系Oxy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·= ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:由四边形ABCD为平行四边形,知=+=(3,-1),故·=(2,1)·(3,-1)=5. 答案:A 3.若正方形OABC两边AB,BC的中点分别为点D和E,则∠DOE的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 解析:以点O为原点,所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设正方形OABC的边长为1,则D（1,）,E（,1）,于是cos∠DOE==. 答案:D 4.(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb), 则 ( ) λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 解析:因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(λ+1,1-λ),a+μb=(μ+1,1-μ),由(a+λb)⊥(a+μb),得(λ+1)(μ+1)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得2λμ+2=0,即λμ=-1. 答案:D 5.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2). (1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标; (2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ. 解:(1)设c=(x,y),因为|c|=2, 所以=2,所以x2+y2=20. 由c∥a,得1×y-2×x=0, 所以解得或 故c=(2,4)或c=(-2,-4). (2)因为(a+2b)⊥(2a-b),所以(a+2b)·(2a-b)=0, 即2a2+3a·b-2b2=0, 所以2×5+3a·b-2×=0,整理得a·b=-, 所以cos θ==-1. 因为θ∈[0,π],所以θ=π. B级 能力提升 6.(2024·广东模拟)在△ABC中,⊥,且||=||=,M是BC的中点,O是线段AM的中点,则·(+)的值为 ( ) A.0 - C.- D.- 解析:如图,以A为原点,AB,AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(,0),C(0,).因为M是BC的中点,所以M,.因为O是线段AM的中点,所以O,.所以=,-,=-,,=-,-.所以+=,.所以·(+)=-×+-×=-. 答案:C 7.已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),若c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=2. 解析:由a=(1,2),b=(4,2),得c=ma+b=(m+4,2m+2). 因为|a|=,|b|=2,a·c=5m+8,b·c=8m+20, 且c与a的夹角等于c与b的夹角, 所以=, 即=,解得m=2. 8.设向量a=(cos α,sin α)(0≤α<2π),b=-,,且a与b不共线. (1)求证:(a+b)⊥(a-b); (2)若向量a+b与a-b的模相等,求α. (1)证明:由题意可得a+b=(cos α-,sin α+), a-b=(cos α+,sin α-), 所以(a+b)·(a-b)=cos2α-+sin2α-=0, 所以(a+b)⊥(a-b). (2)解:因为向量a+b与a-b的模相等, 所以(a+b)2=(a-b)2, 所以a2-b2+2a·b=0. 因为|a|==1,|b|==1,所以1-1+2a·b=0, ... ...
