A级 基础巩固 1.复数(sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)的三角形式是 ( ) A.sin 30°+icos 30° B.cos 160°+isin 160° C.cos 30°+isin 30° D.sin 160°+icos 160° 解析:(sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)=(cos 80°+isin 80°)(cos 80°+isin 80°)=cos 160°+isin 160°. 答案:B 2.计算(cos 40°+isin 40°)÷(cos 10°+isin 10°)=+i. 解析:(cos 40°+isin 40°)÷(cos 10°+isin 10°)=cos 30°+isin 30°=+i. 3.将复数1+i对应的向量顺时针旋转45°,则所得向量对应的复数为. 解析:1+i=(cos 45° +isin 45°),由题意知,所求复数为(1+i)[cos(-45°)+isin(-45°)]= (cos 45°+isin 45°)·[cos(-45°)+isin(-45°)]=(cos 0°+isin 0°)=. 4.在复平面内,将复数+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°,则所得向量对应的复数为-1+i. 解析:由题意知,所求复数为(+i)×(cos 90°+isin 90°)=2(cos 30° +isin 30°)×(cos 90°+isin 90°)=2(cos 120°+isin 120°)=-1+i. B级 能力提升 5.向量,分别对应非零复数z1,z2,若⊥,则是 ( ) A.负实数 B.纯虚数 C.正实数 D.虚数a+bi(a,b∈R,a≠0) 解析:已知z1,z2为非零复数,设复数z1= r1(cos θ1+isin θ1),z2= r2(cos θ2+isin θ2),由于⊥,所以==[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]=[cos(±90°)+isin(±90°)]=±i,即为纯虚数. 答案:B 6.已知复数-3+4i的辐角主值为α,复数3-4i的辐角主值为β,则α-β=-π. 解析:由题意知α-β是的三角形式的辐角.因为=-=-1,又由题意知<α<π,<β<2π,所以-<α-β<-,所以α-β=-π. 7.已知等边三角形ABC的两个顶点A,B所表示的复数分别是+i和2,求另一个顶点C所表示的复数. 解:由题意可知,A,B所表示的复数分别是+i和2,所表示的复数为-i,点C的位置有两个,分别计算如下: ①把按逆时针方向旋转60°得到,对应的复数为(-i)(cos 60°+isin 60°)=+i, =+=+i++i=2+i,即点C对应的复数是2+i; ②将按顺时针方向旋转60°得到,对应的复数为(-i)[cos(-60°)+isin(-60°)]=-i, =+=+i-i =-i,即点C'对应的复数是-i. 综上所述,另一个顶点C所表示的复数为2+i或-i. 8.设点A,B分别对应非零复数z1,z2,且 +z1z2+=0,试判断△AOB的形状. 解:因为z2≠0,由条件得()2+()+1=0, 解得=-±i=cos(±)+isin(±), 所以∠AOB=π. 因为||=1,所以|z1|=|z2|. 综上可知,△AOB是顶角为的等腰三角形. C级 挑战创新 9.多空题将复数z1=3+i对应的向量按逆时针方向旋转π所得到的向量对应的复数为2(cos+isin),该复数除以复数+i后所得到的复数为2i. 解析:z1=3+i=2(cos+isin).由题意知2·(cos+isin)·(cos+isin)=2(cos+isin),即将复数z1=3+i对应的向量按逆时针方向旋转π所得到的向量对应的复数为2(cos+isin). 因为+i=cos+isin, 所以=2(cos+isin)=2i.(
课件网) 第七章 复 数 ○ 21世织纪教痘 2订世看 ,27G2@P 3ism3十i0os 不是复数的三角形式 读想 先把不是三角形式的复数化为三角形式，再求解 (√3+i) 元 元 cos +isin 3 3 元 +icos 元 sin 3 3 算 元 元 2 cos 6 +isin 6 cos +isin 3 元 元 cos isin 6 6 2 cos π3 -ian(+号）门 T 元 cos +isin 6 元 元 2 cos 2 isin 2 元 元 cos +isin 6 6 2 =1+√3i. 方法规律：在进行复数三角形式的除法运算时，注意 思 先将各个复数化为三角形式，再按照除法法则进行运 算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用 三角形式表示. ... ...
