(
课件网) 第八章 立体几何初步 【解题模型示范】 ○ 21世织纪教痘 2订世看 ,27G2@P P B I I I A 5--1 e- D B C 读 三棱台中上、下底面平行的两棱长之比为1：2. (1)题中三个三棱锥可看作是由三棱台分割而成的， 想 2)求几何体体积的常用方法有公式法、等积法、补体 法、分割法等」 设棱台的高为h,S△ABC=S,则S△A,B,C,=4S, 1 所以V按AABc=3SAac·h=3S, 4 V三棱锥C-A1B:C,= S△AB,C ·h= Sh. 算 1 7 又因为V台AcA,c,=3(S+4S十2S)= Sh 3 所以V三楼锥BA,B,C=V三棱台ABCA,BC V三棱锥A-ABC 7 三棱锥CA1B,C1 Sh- 3 % 1 4 2 Sh= Sh, 3 3 所以三棱锥A1-ABC,三棱锥B-A1B1C,三棱锥CA1BC1 的体积之比为1：2：4. 方法规律：求几何体体积的常用方法. (1)公式法：直接代入公式求解 (2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只 思 需选用底面积和高都易求的形式即可. (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成 棱柱，三棱柱补成四棱柱等 (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积：A级 基础巩固 1.若某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则该长方体的表面积为 ( ) A.22 B.20 C.10 D.11 解析:所求长方体的表面积S=2×(1×2)+2×(1×3)+2×(2×3)=22. 答案:A 2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D1-ACD的体积是 ( ) D.1 解析:三棱锥D1-ACD的体积V=S△ACD×D1D=××1×1×1=. 答案:A 3.如图,下面几何体是放倒的直四棱柱,高为2,底面是上底为2,下底为4,高为2的梯形,则该四棱柱的体积为 ( ) A.8 B.12 C.16 D.20 解析:因为直四棱柱的高为2,底面是上底为2,下底为4,高为2的梯形,所以体积V=Sh=×(2+4)×2×2=12.故选B. 答案:B 4.(2023·新高考全国Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为28. 解析:如图所示,根据题意易知△SO1A1∽△SOA, 所以===.又SO1=3,所以SO=6, 所以OO1=3,又上、下底面正方形边长分别为2,4,所以所得棱台的体积为×(4+16+)×3=28. 5.如图所示,某几何体的下半部分为正方体ABCD-A'B'C'D',上半部分为正四棱锥S-ABCD,若几何体的高为5,棱AB=2,则该几何体的体积为12. 解析:V正方体=23=8,V四棱锥S-ABCD=×22×(5-2)=4.所以该几何体的体积V=V正方体+V四棱锥S-ABCD=12. 6.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,截下一个棱锥C-A1DD1,求棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比. 解:已知长方体可以看成直四棱柱,设它的底面ADD1A1的面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh. 而棱锥C-A1DD1的底面积为S,高为h, 故=×Sh=Sh, 余下部分的体积为Sh-Sh=Sh. 所以棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5. B级 能力提升 7.(2023·新高考全国 Ⅰ 卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=,则该棱台的体积为. 解析:如图,设正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上下底面中心分别为M,N,过A1作A1H⊥AC,垂足为点H,由题意易知A1M=HN=,又AN=,所以AH=AN-HN=.又AA1=,所以A1H=MN=,所以该四棱台的体积为×(1+4+)×=. 8.在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,三棱锥P-ABC的体积为V2,则=. 解析:如图所示,设点C到平面PAB的距离为h,三角形PAB的面积为S,则V2=Sh,V1=V棱锥E-ADB=×S×h=Sh,所以=. 9.有位油漆工用一把滚筒刷(刷子呈圆柱形,长度为50 cm,横截面半径为10 cm)给一块面积为 10 m2的木板涂油漆,且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进,则油漆工完成任务所需的时间是多少 (精确到0.01 s) 解:由题意可知,圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积,50 cm=0.5 m,10 cm=0.1 m. 因为圆柱的侧面积为S侧=2π×0.1 ... ...
