(
课件网) 第八章 立体几何初步 ○ 21世织纪教痘 2订世看 ,27G2@PA级 基础巩固 1.若一飞行昆虫被长为12 cm的细绳绑在房间两垂直墙面与天花板形成的交点处,则飞行昆虫活动范围的体积为 ( ) A.144π cm3 B.288π cm3 C.576π cm3 D.864π cm3 解析:飞行昆虫活动的范围是以墙角为球心,半径为12 cm 的球在房间内的部分,即整个球的,所以飞虫活动范围的体积为××π×123=288π(cm3). 答案:B 2.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于 ( ) A.π B.2π C.4π D.8π 解析:设圆柱的底面半径为r,则圆柱的母线长为2r, 由题意得S圆柱侧=2πr×2r=4πr2=4π,所以r=1,所以V圆柱=πr2×2r=2πr3=2π. 答案:B 3.(2024·新高考全国Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为 ( ) A.2π B.3π C.6π D.9π 解析:设圆锥的底面半径为r,则圆锥的母线长为.由圆柱和圆锥的侧面积相等,得2πr=×2πr×,解得r=3,圆锥体积为π×32×=3π. 答案:B 4.如图所示,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是. 解析:设球的半径为r, 则==. 5.已知圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,求圆台的表面积. 解:如图所示,设圆台的上底面周长为c cm, 由于扇环的圆心角是180°,则c=π·SA=2π×10, 所以SA=20 cm. 同理可得SB=40 cm. 所以AB=SB-SA=20 cm. 所以S表=S侧+S上+S下=π×(10+20)×20+π×102+π×202=1 100π(cm2). B级 能力提升 6.将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为6 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面高度为 ( ) A.6 cm B.6 cm C.2 cm D.3 cm 解析:设圆锥中水的底面半径为r cm,由题意知πr2×r=π×22×6,得r=2,所以水面的高度是×2=6(cm). 答案:B 7.(2022·全国乙卷,理)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为 ( ) A. B. C. D. 解析:不妨设四棱锥的底面是正方形,边长为a,底面正方形外接圆的半径为r,则r=a,四棱锥的高h=, 所以四棱锥的体积 V=a2=≤==,当且仅当=1-,即a2=时等号成立,此时四棱锥的高h===,故选C. 答案:C 8.如图所示,一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm,其中有一个高为x cm的内接圆柱. (1)试用x表示圆柱的侧面积. (2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大 最大是多少 解:(1)根据题意画出部分轴截面图,如图所示, 设圆柱的半径为r,则根据三角形相似可得, =,则r=2-,则 S圆柱侧=2πrx=2π2-x=4πx-x2, x∈(0,6). (2)由(1)知,当x=-=3时,这个二次函数有最大值6π, 所以当圆柱的高为3 cm时,它的侧面积最大为6π cm2. 9.若一个底面边长为,侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上,求该球的体积和表面积. 解:如图所示,连接BE,BE1. 可知BE=2DE,所以BE=. 在Rt△BEE1中,BE1==2, 所以2R=2,则R=, 所以球的体积V球=πR3=4π, 球的表面积S球=4πR2=12π. C级 挑战创新 10.(2024·广东东莞模拟)在△ABC中,C=,若以边CA,CB,AB所在的直线为轴旋转得到几何体的体积分别为V1,V2,V3,则 ( ) A.+= B.+= C.+= D.+= 解析:根据题意,在△ABC中,C=,设AB=c,AC=b,BC=a,以CA为轴旋转,则V1=,以CB为轴旋转,则V2=,以AB为轴旋转,则V3=π2c=,则有+=+===. 答案:A ... ...
