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课件网) 第八章 立体几何初步 任一点O 垂直 a⊥b 0° 0°≤α≤90° 答案:D 60° 60° 90° 45° 90° 60° ○ 21世织纪教痘 2订世看 ,27G2@PA级 基础巩固 1.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠ABC=90°,AB=BC=1,则异面直线B1C1与AC所成的角的大小为 ( ) A.45° B.60° C.30° D.90° 解析:因为BC∥B1C1,所以∠ACB(或它的补角)为异面直线B1C1与AC所成的角.因为∠ABC=90°,AB=BC=1,所以∠ACB=45°,所以异面直线B1C1与AC所成的角为45°. 答案:A 第1题图 第2题图 2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面A1B1C1D1和平面AA1D1D的中心,则EF和CD所成的角是 ( ) A.60° B.45° C.30° D.90° 解析:如图所示,连接B1D1,AB1,则E为B1D1的中点,F为AD1的中点,所以EF∥AB1.因为CD∥AB,所以∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角.在正方体中,∠B1AB=45°,所以EF与CD所成的角是45°. 答案:B 3.设P是直线l外一定点,经过点P,且与l成30°角的异面直线 ( ) A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.有一条 解析:如图所示,过点P作直线l'∥l,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角. 答案:A 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1异面,且与AD1所成的角为90°的面对角线共有1条. 解析:面对角线是指正方体各个面上的对角线,与AD1异面的面对角线有A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,其中与AD1所成的角为90°的仅有B1C. 5.如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=.求证:AD⊥BC. 证明:如图所示,取BD的中点H,连接EH,FH. 因为E是AB的中点,且AD=2, 所以EH∥AD,EH=1.同理FH∥BC,FH=1. 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角. 因为EF=,所以EH2+FH2=EF2, 所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边, 所以∠EHF=90°,即AD与BC所成的角是90°, 所以AD⊥BC. B级 能力提升 6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,若M为A1C1的中点,则AM与BC1所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 解析:由题意,取AC的中点N,连接C1N,BN,如图所示,则AM∥C1N, 所以异面直线AM与BC1所成角就是直线BC1与C1N所成角. 设直三棱柱的各棱长均为2,则C1N=,BC1=2,BN=. 设直线BC1与C1N所成的角为θ, 在△BNC1中, 由余弦定理可得cos θ==, 即异面直线AM与BC1所成角的余弦值为,故选D. 答案:D 7.如图所示,空间四边形ABCD的对角线 AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,若异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=5. 解析:如图所示,取AD的中点P,连接PM,PN. 则BD∥PM,PM=BD=3,AC∥PN,PN=AC=4,所以∠MPN(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角.因为AC与BD所成的角为90°,所以∠MPN=90°.在Rt△MPN中,MN==5. 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°. 解析:如图所示,过点M作ME∥DN交CC1于点E,连接A1E,则∠A1ME(或其补角)为异面直线A1M与DN所成的角.设正方体的棱长为a,则A1M=a,ME=a,A1E=a, 所以A1M2+ME2=A1E2,所以∠A1ME=90°,即异面直线A1M与DN所成的角为90°. 9.如图所示,在正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心. 求:(1)BE与CG所成的角的大小; (2)FO与BD所成的角的大小. 解:(1)因为CG∥BF,所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角. 由题意知∠EBF=45°, 所以BE与CG所成的角为45°. (2)如图所示,连接FH. 因为HD∥EA,EA∥FB,所以HD∥FB. 因为HD=FB,所以四边形HFBD为平行四边形, 所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角. 连接HA,AF,易得FH=HA=AF,所以△AFH为等边三角形. 因为O为侧面ADHE的中心,所以O为AH的中点,所以∠HFO=30°,即FO与BD所成的角为30°. C级 挑战创新 10.如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1 ... ...
