人教A版高中数学必修第二册8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定及直线与平面所成的角课件+作业含答案

A级　基础巩固 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是 ( ) A.l和平面α相互平行 B.l和平面α相互垂直 C.l在平面α内 D.不能确定 解析:如图所示,直线l和平面α相互平行,或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能. 答案:D 2.直线l与平面α所成的角为70°,若直线l∥m,则m与α所成的角等于 ( ) A.20° B.70° C.90° D.110° 解析:因为l∥m,所以直线l与平面α所成的角等于直线m与平面α所成的角.因为直线l与平面α所成的角为70°,所以直线m与平面α所成的角为70°. 答案:B 3.如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,若PA⊥平面ABCD,则图中共有4个直角三角形. 解析:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,所以△PAB,△PAD都是直角三角形. 因为BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,所以△PBC为直角三角形. 同理得CD⊥PD,所以△PCD是直角三角形. 故共有4个直角三角形. 4.如图所示,AB是☉O的直径,PA⊥☉O所在的平面,C是☉O上一点,若∠ABC=30°,PA=AB,则直线PC与平面ABC所成角的正切值为2. 解析:因为PA⊥平面ABC,所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影,所以∠PCA即为直线PC与平面ABC所成的角.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,所以AC=AB.在Rt△PAC中,AC=AB=PA,所以tan∠PCA==2. 5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD,∠ACB=∠ACD. 求证:BD⊥平面PAC. 证明:因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形.因为∠ACB=∠ACD,所以BD⊥AC. 因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD. 因为AC 平面PAC,PA 平面PAC,AC∩PA=A, 所以BD⊥平面PAC. B级　能力提升 6.多选题(2022·新高考全国Ⅱ卷)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则 ( ) V3=2V2 B.V3=V1 C.V3=V1+V2 D.2V3=3V1 解析:如图,连接BD交AC于O,连接OE,OF.设AB=ED=2FB=2,则AB=BC=CD=AD=2,FB=1.因为ED⊥平面ABCD,FB∥ED,所以FB⊥平面ABCD,所以V1=VE-ACD=S△ACD×ED=×AD×CD×ED=××2×2×2=,V2=VF-ABC=S△ABC×FB=×AB×BC×FB=××2×2×1=. 因为ED⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以ED⊥AC,又AC⊥BD,且ED∩BD=D,ED,BD 平面BDEF,所以AC⊥平面BDEF.因为OE,OF 平面BDEF,所以AC⊥OE,AC⊥OF.易知AC=BD=AB=2,OB=OD=BD=,OF==,OE==,EF===3,所以EF2=OE2+OF2,所以OF⊥OE,又OE∩AC=O,OE,AC 平面ACE,所以OF⊥平面ACE,所以V3=VF-ACE=S△ACE·OF=×AC×OE×OF=××2××=2,所以V3≠2V2,V1≠V3,V3=V1+V2,2V3=3V1,所以选项A,B不正确,选项C,D正确,故选CD. 答案:CD 7.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD,DA和两条对角线AC,BD都相等,若E为AD的中点,F为BC的中点,则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为. 解析:如图所示,连接EF.根据题意知BC⊥AF,BC⊥DF. 因为AF 平面ADF,DF 平面ADF,AF∩DF=F,所以BC⊥平面ADF,所以∠BEF是直线BE和平面ADF所成的角.设BC=2,则BF=1,BE=,所以sin∠BEF==. 8.(2024·广东云浮期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥DC,BC=CD=AD,E为AD的中点. (1)证明:BD⊥平面PAB. (2)若PA=AD,求直线PE与平面PAB所成角的正切值. (1)证明:因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以PA⊥BD.如图,连接BE,EC,因为BC∥DE,且BC=DE,所以四边形BCDE为平行四边形.又DE⊥CD,BC=CD,所以平行四边形BCDE为正方形,则BD⊥EC.又AB∥EC,所以BD⊥AB.又PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,所以BD⊥平面PAB. (2)解:如图,取AB的中点F,连接EF,PF,因为E,F分别为AD,AB的中点,所以EF∥BD,由(1)知BD⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB,则∠EPF就是直线PE与平面PAB所成的角,设PA=AD=2,则BC=CD=AD=1,所以BD=,EF=.在Rt△ABE中,AB===,AF=,所以PF===,所以tan ∠EPF===. C级　挑战创新 9.探索性问题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面B ... ...