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课件网) 第八章 立体几何初步 一个平面内有一直线 交线 垂直 线面 答案:B ④ ○ 21世织纪教痘 2订世看 ,27G2@P 拉 C B MA级 基础巩固 1.若平面α⊥平面β,直线a∥平面α,则 ( ) A.直线a⊥平面β B.直线a∥平面β C.直线a与平面β相交 D.以上都有可能 解析:因为直线a∥平面α,平面α⊥平面β,所以直线a与平面β垂直、相交、平行都有可能. 答案:D 2.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n α,要使n⊥β,则应增加的条件是 ( ) A.m∥n B.n⊥m C.n∥α D.n⊥α 解析:已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n α,应增加条件n⊥m,才能使得n⊥β. 答案:B 3.如图所示,三棱锥P-ABC中,若平面ABC⊥平面PAB,PA=PB,AD=DB,则 ( ) A.PD 平面ABC B.PD⊥平面ABC C.PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD∥平面ABC 解析:因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.因为平面ABC⊥平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,所以PD⊥平面ABC. 答案:B 4.如图所示,沿Rt△ABC的中位线DE将△ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE,得到四棱锥A-BCDE,则平面ABC与平面ACD的关系是垂直. 解析:因为AD⊥DE,平面ADE⊥平面BCDE,平面ADE∩平面BCDE=DE,所以AD⊥平面BCDE,所以AD⊥BC.因为CD⊥BC,AD∩CD=D,所以BC⊥平面ACD. 因为BC 平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD. 5.如图所示,已知平面α,β,α⊥β,在α与β的交线上取线段 AB=4 cm,AC,BD分别在α和 β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=3 cm,BD=12 cm,求CD的长. 解:如图所示,连接BC. 因为α⊥β,α∩β=AB,BD⊥AB,所以BD⊥平面α. 因为BC α,所以BD⊥BC. 在Rt△BAC中,BC===5(cm), 在Rt△DBC中,CD===13(cm), 所以CD长为13 cm. B级 能力提升 6.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B都是定点,则动点C运动形成的图形是 ( ) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点 解析:因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC 平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC. 因为BC 平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°,所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(不含A,B两点). 答案:D 第6题图 第7题图 7.如图所示,空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是45°. 解析:如图所示,过点A作AO⊥BD于点O. 因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以AO⊥平面BCD,所以∠ADO即为AD与平面BCD所成的角. 因为∠BAD=90°,AB=AD, 所以∠ADO=45°. 8.(2024·广东广州模拟)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,△AB1C为正三角形,AB=BC=2,AB⊥BC,点D为AC的中点,平面ABC⊥平面AB1C. (1)若C1D⊥B1C,证明:平面BC1D⊥平面BCC1B; (2)若AA1=CC1=4,记平面ABB1A1与平面BC1D的交线为l,求二面角A1-l-C1的余弦值. (1)证明:因为平面ABC⊥平面AB1C,且平面ABC∩平面AB1C=AC,AB=BC,且点D是AC的中点,所以BD⊥AC,又BD 平面ABC.所以BD⊥平面AB1C,B1C 平面AB1C.所以BD⊥B1C,又C1D⊥B1C,且BD∩C1D=D,BD,C1D 平面BC1D,所以B1C⊥平面BC1D,且B1C 平面BCC1B1.所以平面BC1D⊥平面BCC1B1. (2)解:由题意知,BD=AC=,B1D=AC=,因为△AB1C是等边三角形,且点D为AC的中点,则B1D⊥AC.又因为平面ABC⊥平面AB1C,平面ABC∩平面AB1C=AC,B1D 平面AB1C,所以B1D⊥平面ABC.因为BD 平面ABC,所以B1D⊥BD,可得B1B===2,取AB的中点M,连接DM,B1M. 因为B1B=AB1,AD=DB,则B1M⊥AB,DM⊥AB,且B1M∩DM=M,B1M,DM 平面B1DM,则AB⊥平面B1DM.对于梯形ABB1A1,过点A作AD1⊥A1B1,垂足为D1, 因为B1M==,则AD1=B1M=,可得A1D1==3,由A1B1=A1D1+B1D1=4,可知==,且A1B1=B1C1=4,A1C1=4,将三棱台ABC-A1B1C1补成三棱锥G-A1B1C1,则===.设C1D∩A1G=N,可知l即为直线BN,则===,即=,可得 ... ...
