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课件网) 23.4 中位线 学习目标 1. 理解中位线的概念和性质（重点） 2. 能够利用中位线解决相关问题（重点、难点） 3. 经历三角形中位线的性质定理及重心的推导过程（难点） 新课导入 思考一下：如图，在池塘外选一点C，连结AB、AC、BC，分别找出AC和BC的中点D、E，并且连结，如果测量出DE的长度为10米，也就能知道AB的距离了。同学们知道AB是多少米吗？为什么？ E D B A C 新课导入 在23.3节中，我们得到如下的结论： 如图，在△ABC中，DE∥BC,则△ADE∽△ABC. 在推理过程中，我们由DE//BC 推得 = = . 那么当点 D 是 AB 的中点时，利用该比例式容易推知点E也是AC 的中点，并且DE = BC. 现在换一个角度考虑，如果已知点 D、E分别是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE//BC？DE与BC之间又存在怎样的数量关系呢 新课学习 我们试着对于上面的问题猜想一下： 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点.根据画出的图形，可以猜想： DE∥BC，且DE= BC. 对于上面的猜想证明一下 新课学习 我们用演绎推理给出证明： △ABC中， ∵点D、E分别是AB与AC的中点， ∴ ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠ADE=∠ABC， ∴DE∥BC，且DE= BC. 新课学习 三角形的中位线的概念 在任意△ABC中，取AB、AC边中点D、E，连接DE．像DE这样，连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． D E 新课学习 三角形的中位线的性质 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． D E 几何语言 ∵在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点， ∴DE∥BC, DE= BC． 新课学习 例1：求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 已知：如图，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC. 求证：AE、DF互相平分. 连结DE、EF. ∵AD=DB，BE=EC， ∴DE∥AC(三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半). 同理可得EF∥BA. ∴四边形ADEF是平行四边形， ∴AE、DF互相平分. 新课学习 例2：如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G.求证： 连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点， ∴DE∥AC， 并且等于第三边的一半)， ∴△ACG∽△DEG， ∴ ∴ 新课学习 拓展一下：如果在例2图中取AC的中点F，假设BF与AD相交于点G′，如图，那么我们同理可得 所以 A B C D G E A C D G' F B 即两图中的点G与点G′是重合的. 新课学习 通过刚刚的探究，我们可以得出结论： 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 . 注意：数学上的“重心”与物理上的“重心”是一致的. 新课学习 练一练：求证：顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形是平行四边形. 已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 新课学习 连结AC. ∵AH=HD，CG=GD , ∴HG∥AC, HG= AC. 同理EF∥AC, EF= AC, ∴HG∥EF，HG = EF. ∴四边形EFGH是平行四边形. 课堂巩固 C 课堂巩固 课堂巩固 B 课堂巩固 课堂巩固 A 课堂巩固 课堂巩固 A 课堂巩固 课堂巩固 8 课堂巩固 8 课堂总结 1.三角形中位线的概念 2.三角形中位线的性质 THANK YOU ... ...
