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课件网) 第4章 立体几何初步 4.2 平面 1.了解平面的概念,会用图形与字母表示平面.(数学抽象) 2.能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系.(数学抽象) 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三条基本事实(公理)及其推论.(逻辑推理、直观想象) 4.理解三个基本事实及推论的地位和作用.(逻辑推理) 在日常的生活中,相机三脚架(一个用来固定相机位置的装置,由于这个装置有三个支点,因此称为三脚架)、施工用的支架等,都是由不在同一直线的三个脚(点)支撑,这样可以使这些物体水平放置,为什么三个脚(点)不在同一直线上呢 例1 用符号语言表示下列语句,并画出图形. (1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC; (2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC. 解: (1)符号语言:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC、图形表示如图①所示. (2)符号语言:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC、图形表示 如图②所示. 探究一 文字、图形、符号三种语言的转化 反思感悟 学习几何问题,三种语言间的互相转化是一种基本技能.要注意符号语言的意义,如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“ ”,直线与平面间的位置关系只能用“ ”或“ ”.由图形语言表示点、线、面的位置关系时,要注意实线和虚线的区别. 变式训练1 (1)若点M在直线a上,a在平面α内,则M,a,α间的关系可记为 . (2)如图,填入相应的符号:A 平面ABC, A 平面BCD,BD 平面ABC,平面ABC∩平面ACD= . (3)根据下列条件画出图形:平面α∩平面β=MN,△ABC的三个顶点满足条件 A∈MN,B∈α,B MN,C∈β,C MN. 答案: (1)M∈a,a α,M∈α (2)∈ AC (3)如图所示. 例2 证明:两两相交且不过同一点的四条直线共面. 已知:a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点. 求证:a,b,c,d四线共面. 探究二 证明多线共面 证明 :①无三线共点情况,如图. 设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S. 因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α. 因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α,所以NQ α,即b α. 同理,c α,所以a,b,c,d共面. ②有三线共点的情况,如图. 设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且K a. 因为K a,所以K和a确定一个平面,设为β. 因为N∈a,a β,所以N∈β. 所以NK β,即b β. 同理,c β,d β. 所以a,b,c,d共面.由①②知,a,b,c,d共面. 反思感悟 证明多线共面的常用方法有: (1)先由部分直线确定一个面,再证其余的直线都在这个平面内, 即用“纳入平面法”; (2)先由其中一部分直线确定一个平面α,一部分直线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”; (3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”. 变式训练2 求证:如果两两平行的三条直线a,b,c都与另一条直线l相交, 那么这四条直线共面. 已知:如图所示,a∥b,b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C. 求证:直线a,b,c,l在同一平面内. 证明: 因为a∥b,可知直线a与b确定一个平面,设为α. 因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α. 又因为A∈l,B∈l,所以l α. 因为b∥c,所以直线b与c确定一个平面β. 同理可知l β. 因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B. 又因为经过两条相交直线,有且只有一个平面,可知平面α与平面β重合, 所以直线a,b,c和l共面. 例3 已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图. 求证:P,Q,R三点共线. 探究三 证明点共线 分析:证明P,Q,R三点既在平面ABC内,也在平面α内,即得P,Q,R共线; 也可以证明PR是平面APR与平面α的交线,点Q既在平面APR内,也在平面α内, 即点Q在平面APR与平面α的交线PR上. 证明: (方法1)∵AB∩α=P ... ...
