第4章 立体几何初步 4.4 平面与平面的位置关系 4.4.1 平面与平面平行的性质定理 1.掌握平面与平面平行的性质定理,能利用定理解决空间中的平行性问题.(逻辑推理) 2.了解平面到平面距离的含义,并能求解.(数学运算、逻辑推理) 1. 两个平面的位置关系 没有公共点 有一条公共直线 2. 两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。 问题1：若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面 有什么位置关系？ 若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面平行. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面. 面面平行的性质定理一 图形语言 符号语言 简记：面面平行→线面平行 ? 问题2：若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线是否平行？它们有什么位置关系？ 分别在两个平行平面内的直线必定没有公共点，它们不一定平行， 可能是平行或异面. 平行 异面 图形语言 ????∥????，????∩????＝a，????∩????＝b，则a∥b. ? 符号语言 两个平面平行，如果一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． 面面平行的性质定理 简记：面面平行→线线平行 ? 证明：如果一条直线垂直于两个平行平面中一个平面，那么它也垂直于另一个平面. g 已知： 求证： α∥β，l⊥α l⊥β 证明：垂直于同一条直线的两个平面平行. 已知： 求证： l⊥α ，l⊥β α∥β ? ? ? ? A A? l n n? m m? 两个平面平行的两个重要结论 (1)如果一条直线垂直于两个平行平面中一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 数学符号语言： (2)垂直于同一条直线的两个平面平行. 数学符号语言： 例3 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N=N.求证： (1)NC1∥AM； (2) N为AC的中点. 证明：(1)因为平面AB1M∥平面BC1N， 平面AB1M∩平面ACC1A1=AM， 平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N， 所以NC1∥AM. (2)因为AC∥A1C1，NC1∥AM， 所以四边形ANC1M为平行四边形， 所以AN=C1M=12A1C1= 12 AC， 所以N为AC的中点. ? 例4 求证：夹在两个平行平面间的两条平行线段相等． 已知：如图，平面α∥平面β，AB和DC为夹在α，β间的平行线段． 求证：AB＝DC. 证明：因为AB∥DC， 所以AB和DC确定平面AC. 又因为直线AD，BC分别是平面AC与平面α，β的交线， 所以AD∥BC， 故四边形ABCD是平行四边形． 所以AB=DC. 如果平面α平行于平面β，则称平面α上任意一点到平面β的距离为平面α到平面β的距离. 平面与平面的距离 P O 两个平行平面间的距离及相关结论 公垂线：与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线； 公垂线段：公垂线夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段； 两个平行平面间的距离：我们把公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。 两个平行平面公垂线段都相等。 1.若α∥β,a?α,下列四个说法正确的是( ) ①a与β内所有直线平行;②a与β内的无数条直线平行;③a与β内的任何一条直线都不相交;④a与β无公共点. A.①② B.②③④ C.②③ D.①③④ 答案： B 解析： 由性质知①错误;由定义知②正确;由定义知③正确;由定义知④正确, 故选B. 2.(多选题)下列说法正确的是( ) A.平行于同一直线的两个平面平行 B.平行于同一平面的两个平面平行 C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行 D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交 答案： BCD 解析： 平行于同一直线的两个平面有可能相交,如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD与平面A1ABB1都与C1D1平行,但平面ABCD与平面A1ABB1相交.B,C,D正确. 3.已知直线a∥平面α,平面α∥平面β,则a与β的位置关系为 .? 答案： a?β或a∥β ... ...
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