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课件网) 第4章 立体几何初步 4.5.2 几类简单几何体的体积 1.通过对柱体、锥体、台体的研究,掌握柱体、锥体、台体的体积的求法.(数学抽象、数学运算) 2.了解柱体、锥体、台体的体积计算公式之间的关系;会求组合体的体积.(数学抽象、数学运算) 3.在掌握球的体积计算公式的基础上,能够求解与球有关的组合体体积计算问题.(逻辑推理、数学运算) 美国大发明家爱迪生有一位数学基础相当好的助手叫阿普顿.有一次,爱迪生把一只电灯泡的玻璃壳交给阿普顿,要他计算一下灯泡的容积.阿普顿看着梨形的灯泡壳,思索了好久之后,画出了灯泡壳的剖视图、立体图,画出了一条条复杂的曲线,测量了一个个数据,列出了一道道算式.经过几个小时的紧张计算,还未得出结果.结果爱迪生不到一分钟,就把灯泡的容积“算”出来了.大家能猜出爱迪生使用的巧妙方法吗 知识点一:几种简单几何体的体积 几何体 体积公式 棱柱 V棱柱=Sh(S为棱柱的底面积,h为棱柱的高) 棱锥 V棱锥=Sh(S为棱锥的底面积,h为棱锥的高) 棱台 V棱台= (S++S')h . (S',S分别为棱台的上底、下底面积,h为棱台的高) 知识点二:圆柱、圆锥的体积 1.V圆柱=πr2h(r是圆柱的底面半径,h是圆柱的高) 2.V圆锥= πr2h(r是圆锥的底面半径,h是圆锥的高) 名师点析 棱柱和圆柱都是柱体,棱锥和圆锥都是锥体,它们的体积公式可统一如下: (1)V柱体=Sh(S为柱体的底面积,h为柱体的高); (2)V锥体= Sh(S为锥体的底面积,h为锥体的高). 知识点三:球的体积 若球的半径为R,则球的体积为V= πR3. 例1 用一块长4 m,宽2 m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,如何制作可使铁筒的体积最大 解： ①若以矩形的长为圆柱的母线l, 则l=4 m,此时圆柱底面周长为2 m, 探究一 柱体的体积 要点笔记 柱体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高), 特别地,圆柱的体积公式也可以表示为V=πr2h(r为底面半径,h为高). 因此求柱体体积的关键是求出底面积与高. 例2 (1)如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为 ,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为( ) 探究二 锥体的体积 答案： (1)C (2)A (2)作圆锥的轴截面(如图所示). 由题设,在△POB中,∠APB=90°,PA=PB. 设圆锥的高为h,底面半径为r, 2.求解三棱锥的体积时,由于三棱锥的每一个面均可以看作是底面,因此要注意根据几何体的特征变换顶点. 反思感悟 1.锥体的体积公式V= Sh(S为底面面积,h为高),特别地,圆锥的体积公式也可以表示为V= πr2h(r为底面半径,h为高).因此求锥体体积的关键是求出底面积与高. 例3 已知一个三棱台上、下底面分别是边长为 20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积. 探究三 棱台的体积 解： 如图,在三棱台ABC-A'B'C'中,O',O分别为上、下底面的中心,D,D'分别是BC,B'C'的中点, 反思感悟 1.棱台的体积公式 (S',S分别为上、下底面面积, h为高),因此求棱台体积的关键是求出上、下底面面积和高. 2.涉及与正棱台有关的几何计算,应根据正棱台底面正多边形的特征构造与下底面正多边形边上的高、正棱台的高有关的直角三角形再求解. 例4 各棱长均为 的四面体内有一内切球,求该球的体积. 分析：等体积法→内切球的半径→球的体积 探究四 球的体积 反思感悟 与球有关的组合体一般有两类,一类是与球内接的组合体,在此类组合体中,球心与多面体顶点的连线是半径;另一类是与球外切的组合体,在这一类组合体中,球心与各切点的连线是半径.在解答与球有关的组合体问题时,要注意这些半径的应用. 延伸探究 求本例所给四面体外接球的体积. 例5 如图所示,扇形AOB的半径为2,圆心角为90°.若扇形AOB绕OA旋转一周,则图中阴影部分所得几何体的体积为( ) 探究五 组合体的体积 答案： ... ...
