2.5.1直线与圆的位置关系 教学设计

2.5.1直线与圆的位置关系 一、教学内容 运用交点个数、代数法、几何法判断直线与圆的位置关系，直线与圆的方程解决简单的问题. 二、教学目标 通过具体实例，能说出直线与圆的位置关系，体会数形结合的数学思想，发展直观想象核心素养。 通过课堂小组讨论，能用交点个数、代数法、几何法判断直线与圆的位置关系，体会数形结合的数学思想，发展数学抽象核心素养。 通过例题的解答，会判断直线与圆的位置关系，会求弦长，切线，体会数形结合的数学思想，发展数学运算核心素养。 三、教学重点与难点 重点：运用直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系. 难点：运用直线与圆的方程解决简单的问题. 四、教学过程设计 引导语：在平面几何中,我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系.前面我们学习了直线的方程、圆的方程,以及用方程研究两条直线的位置关系.下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法,利用直线和圆的方程,通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系. 问题一 在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系 根据上述定义,如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系 直线与圆的位置关系 图形表示 交点个数 代数法 （ 的情况） d与r的关系 师生活动：学生先独立思考再小组讨论后回答并回答。 设计意图：引导学生发现用交点个数、代数法、几何法判断直线与圆的位置关系。 问题二 例1已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线与 圆C的位置关系;如果相交,求直线被圆C所截得的弦长. 师生活动：解法1:联立直线l与圆C的方程,得 消去y,得x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1 所以,直线l与圆C相交,有两个公共点. 把x1=2,x2=1分别代入方程,得y1=0,y2=3. 所以,直线l与圆C的两个交点是A(2,0),B(1,3)，因此 解法2：圆C的方程x2+y2-2y-4=可化为x2+(y-1)2=5,因此圆心C的坐 标为(0，1),半径为,圆心C（0,1)到直线l的距离 所以,直线l与圆C相交,有两个公共点. 由垂径定理,得. 设计意图：思路1:将判断直线l与圆C的位置关系转化为判断由它们的方性成的方程组有无实数解、有几个实数解;若相交,可以由方程组解得两交点的坐标,利两同的距离公式求得弦长. 思路2:依据圆心到直线的距离与半径的关系,判断直线与圆的位置关系;若相交,则可利用勾股定理求得弦长. 问题三 例2过点P(2,1)作圆O:x2+ y2=1的切线l,求切线l的方程. 师生活动：解法1:设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0. 由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1,得 解得k=0或. 因此,所求切线l的方程为y=1,或4x-3y-5=0. 解法2:设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1-k(x-2) 因为直线l与圆相切,所以方程组 只有一组解. 消元,得 (k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0 ① 因为方程①只有一个解,所以 △=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0 解得k=0或. 所以,所求切线l的方程为y=1,或4x-3y-5=0 设计意图：点P(2,1)位于圆O:x2+ y2=1外,经过圆外一点有两条直线与这个圆相切,我们设切线方程为y-1=k(x-2),k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值. 五、目标检测设计 1.判断下列各组直线与圆C的位置关系: (1)1:x-y+1=0， 圆C：x2+y2=3; (2)1：3x+4y+2=0, 圆C：x2+y2-2x=0 (3)1：x+y+3=0, 圆C：x2+y2+2y=0 2.已知直线4x+3y-35=0与圆心在原点的圆C相切,求圆C的方程。 3.判断直线2x-y+2=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4的位置关系:如果相交,求直线被圆得的弦长。 6 ... ...