2025年九年级数学三轮冲刺训练相似三角形之一线三等角模型（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025年九年级数学三轮冲刺训练相似三角形之一线三等角模型 1．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，若n＝﹣1，求m的值. 如图，点D，E是正△ABC两边上的点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点恰好落在边AC上，当AC＝4AF时，求的值. 3．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°，BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长 ． 4．如图，已知点A是双曲线y在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y（k＜0）上运动，求k的值 ． 5．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式； （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． 6．如图，等边三角形ABC的边长为6，D是BC上一动点，∠EDF＝60°． （1）求证：△BDE∽△CFD． （2）当BD＝1，FC＝3时，求BE的长． 7．已知矩形ABCD中，CD＝2，P是射线DA上的一个动点，（和A、D不重合）过点P作PE⊥CP，交射线BA于点E． （1）如图1，当AD＝5时，点P在边AD上时，求证：△APE∽△DCP； （2）如图1，当AD＝5时，点P在边AD上时，设PD＝x，AE＝y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． （3）如图2，当AD＝3时，联结CE，当△PCE是等腰三角形时，求PD的长度． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F． （1）如图2，如果点D是边AB的中点，求证：DE＝DF； （2）如果AD：DB＝m，求DE：DF的值； （3）如果AC＝BC＝6，AD：DB＝1：2，设AE＝x，BF＝y， ①求y关于x的函数关系式，并写出定义域； ②以CE为直径的圆与直线AB是否可相切？若可能，求出此时x的值；若不可能，请说明理由． 9．如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF＝1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N， （1）写出图中与△BEF相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似； （3）设BE＝x，MN＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （4）若AE＝1，试求△GMN的面积． 10．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E是AB边上一点，EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH＝∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N． （1）如图1，当点H与点F重合时，求BE的长； （2）如图2，当点H在线段FD上时，设BE＝x，DN＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）连接AC，当以点E，F，H为顶点的三角形与△AEC相似时，求线段DN的长． 11．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 （1）如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，求证：AD BC＝AP BP． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝β时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在△ABC中，，∠B＝45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD＝45°，若，求CD的长． 12．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，CE垂直y轴于点E． （1）求证：△CDE∽△DA ... ...