专题12 概率 目 录 易错点01 混淆互斥、对立、独立事件的概念 易错点02 混淆“有放回”与“不放回”致错 易错点03 古典概型问题忽略“等可能性” 易错点04 对条件概率理解不透彻致错 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 易错点01：混淆互斥、对立、独立事件的概念 典例 （2024·上海虹口·一模）已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）． A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥 C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥 【答案】B 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的定义判断即可. 【详解】因为事件和事件满足，则一定可以得到事件和事件互斥，但不一定对立，故B正确，C错误； 因为，当，不为时，事件和事件不独立，故A错误； 抛掷一枚骰子，记出现点为事件，出现点为事件， 则，，显然事件和事件不互斥，故D错误. 故选：B 【易错剖析】 本题容易混淆互斥事件、对立事件和相互独立事件的概率而出错. 【避错攻略】 1.互斥事件与对立事件 （1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用韦恩图表示如下： 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥． （2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为． 【解读】互斥事件与对立事件的关系 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生． ②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件． 2、相互独立事件的概念 （1）对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （2）相互独立事件的性质：如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． 两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． 易错提醒：(1)判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件. (2)互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：①相同点：二者都是描述两个事件间的关系； ②不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 1．（24-25高三上·上海·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （ ） A．是相互独立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互独立事件 C．既是相互独立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互独立事件 2．（24-25高二上·湖北·期中）一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和不超过6”，事件“摸出的两个球的编号都大于3”，事件“摸出的两个球中有编号为4的球”，则（ ） A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是对立事件 C．事件与事件是互斥事件 D．事件与事件是互斥事件 3．（24-25高三上·江苏南京·期中）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A．与为互斥事件 B．与相互独立 C． D． ... ...
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