专题04 数列 考点01 等差、等比数列的定义 1．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先假设数列是等差数列，结合等差数列的性质设出其首项及公差，计算可得数列亦为等差数列，举出恰当的数列的通项公式，使是等差数列，但不是等差数列即可得. 【详解】若数列是等差数列，可设其首项为，公差为， 则，则， 即数列是以为首项，为公差的等差数列； 若数列是等差数列，取，则，符合要求， 但数列不为等差数列， 故“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A, 易错分析：利用等比数列的定义进行判断时一定要注意验证. 2．（24-25高三上·陕西·阶段练习）已知正项数列满足，且，则（ ） A．为等差数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等比数列 【答案】A 【分析】由条件可得，，结合关系可得，可得，由此判断AC，举反例判断BD. 【详解】因为，数列为正项数列， 所以，，又， 所以， 所以， 所以为等差数列，A正确，C错误； 设，则，，， 满足条件，， 因为，， 所以不是等比数列，不是等差数列，B错误，D错误. 故选：A. 3．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（ ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用推出关系去判断充要关系即可. 【详解】当时，是等差数列，不是等比数列， 当既是等差数列又是等比数列，则， 故“既是等差数列又是等比数列”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 5．已知数列满足，（，）.又数列满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列是严格增数列，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定的递推公式，裂项变形，再利用等比数列定义判断即得. （2）由（1）求出数列的通项，再由单调性列出不等式，分离参数，借助单调性求解即得. 【详解】（1）当时，，即，亦即， 又，即，所以数列是等比数列. （2）由（1），，即，， 依题意，对任意的正整数成立， 即对任意的正整数成立， 而数列严格增，且对任意的正整数成立， 因此，又，解得， 所以的取值范围是. 考点02 等差、等比数列基本量的运算 1．（24-25高三上·吉林·期末）若等差数列的公差，则（ ） A． B． C．15 D．28 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式结合题目条件可得结果. 【详解】设，则，解得， ∴，故， 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，若，，则（ ） A．25 B．16 C．9 D．4 【答 ... ...
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