江西省宜春市樟树市滨江中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、单选题 1．已知复数，则它的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 2．在中，若，，，则等于（ ） A． B． C．或 D．或 3．（ ） A．1 B． C． D． 4．已知向量，其中，且，则向量与的夹角是（ ） A． B． C． D． 5．若，则（ ） A． B． C． D． 6．定义在上的函数满足，且，则（ ） A． B．0 C．1 D．3 7．在正四棱台中，，，，若球O与上底面以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的体积为（ ） A． B． C． D． 8．在中，内角的对边分别为，且，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．数学课上老师给出同学们一组数据：，则该组数据的（ ） A．平均数为5 B．第60百分位数为 C．中位数为4 D．方差为 10．若，为空间中两条不同的直线，，，为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 11．已知为圆锥底面圆的直径，，，点为圆上异于的一点，为线段上的动点（异于端点），则（ ） A．直线与平面所成角的最大值为 B．圆锥内切球的体积为 C．棱长为的正四面体可以放在圆锥内 D．当为的中点时，满足的点有2个 三、填空题 12．已知向量，，则在方向上的投影数量是 . 13．在平面四边形中，，，，，，以直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，该几何体的体积为 ． 14．在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则 . 四、解答题 15．已知函数． (1)证明：的定义域与值域相同． (2)若，，，求m的取值范围． 16．如图，已知函数的图象与轴相交于点，图象的一个最高点为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的所有零点之和． 17．的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的大小； (2)若面积为，外接圆面积为，求周长. 18．如图，在正三棱柱中，D，E分别是BC，的中点，若，. (1)证明：平面； (2)求到平面的距离： (3)求二面角的大小. 19．已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． (1)若，求函数的“平衡”数对； (2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 江西省宜春市樟树市滨江中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D B C D D D ACD BC 题号 11 答案 AC 12．1 13． 14． 15．（1）证明：由，得， 所以的定义域为． ， 因为在上单调递增． 所以，所以的值域为， 所以的定义域与值域相同． （2）解：由（1）知在上单调递增， 所以当时，． 设， 当，即时，取得最小值，且最小值为． 因为，，， 所以，即m的取值范围为． 16．（1）设的最小正周期为，则， 所以，所以， 又因为函数的图象的一个最高点为， 所以，所以， 所以， 因为，所以，所以． （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 所以， 令，得， 考虑与图象的所有交点的横坐标之和， 函数与的图象都关于点对称， 令，解得， 函数与的图象如图所示： 故两函数的图象有且仅有9个交点从左到右分别为， 所以，，，， 所以，故函数的所有零点之和为9. 17．（1）， ， ， ， ． （2）设外接圆的半径为， 由， 得， 因为，解得， ， 所以， 又， 所以49= ， 故， 所以. 18．（1）连接，交于点，连接， 因为四边形为平行四边形，所以O为中点， 又D为BC中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）设到平面的距离为d， 因为，，所以， 又为中点，所以， 因为为等边三角形， ... ...
