《4.1.3认识三角形-三角形的高、中线、角平分线》自主学习单 ——— 郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男 预备性知识： 三角形按边可以分成几类？三角形的三边关系是什么？ 按边可以分成：等腰三角形（等边三角形），不等腰三角形. 三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边. 活动1：基础性知识 如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点 D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置.说说你的想法并与同伴进行交流. 在点D的运动过程中，特殊位置有： 点D运动到线段AD与BC垂直， 运动到BC的中点， 或运动到AD平分∠BAC. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高. 也可叙述如下： ①AF是△ABC的BC边上的高； ②AF⊥BC,垂足为F； ③点F在BC上，且∠AFB =∠AFC =90°. 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线. 在△ABC中，∵AE是△ABC的BC边上的中线， ∴BE=EC=1/2BC或BC=2BE=2EC或E为边BC中点. 在△ABC，∵BE=EC=1/2BC或BC=2BE=2EC或E为边BC中点， ∴AE是△ABC的BC边上的中线. 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. 在△ABC中,∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠1=∠2=1/2∠BAC或∠BAC=2∠1=2∠2. 在△ABC中,∵∠1=∠2=1/2∠BAC 或∠BAC=2∠1=2∠2， ∴AD是△ABC的一条角平分线. 【基础性练习】 1.如图所示,AD⊥BC于点D,那么图中以AD为高的三角形有( D ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是( A ) A.DE是△ABC的中线 B.BD是△ABC的中线 C.AD=DC,BE=EC D.DE是△BCD的中线 3.如图所示，在△ABC中，D,E,F是BC边上的三点,且∠1=∠2=∠3=∠4,则AE是哪个三角形的角平分线( D ) A.△ABE B.△ADF C.△ABC D.△ABC,△ADF 活动2：拓展性知识 请你探究三角形的三条高线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流． 三角形高的性质：三角形的三条高所在的直线交于一点. 请你探究三角形的三条中线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流． 三角形中线的性质： 三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心． 请你探究三角形的三条角平分线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流． 三角形角平分线的性质：三角形的三条角平分线交于一点． 【拓展性练习1，2】 4.若一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的顶点,则这个三角形是( B ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 5.如图所示，AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为25 cm, AB比AC长6 cm,则△ACD的周长为( A ) A.19 cm B.22 cm C.25 cm D.31 cm 如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC.若∠1=30°,∠2=20°，则∠B= 50° °. 7.如图所示，在△ABC中，CE是△ABC的中线，BD是△ABC的角平分线，若AB=3 cm，∠A=70°，∠ACB=60°,则∠ABD= 25 °, AE= 1.5 cm. 活动4：挑战性知识 你能尝试用折纸或者尺规作出三角形的高线，中线，角平分线吗？ 【挑战性练习】 8.如图，在△ABC 中，AD为边BC上的高，E为边BC上的一点， 连接AE . （1）当AE为边BC上的中线时，若AD=6，△ABC 的面积为24，求CE 的长. 解：∵AD为边BC上的高，AD=6，S△ABC=24 ， ∴BC×6=24. ∴BC=8 . ∵AE为边BC 上的中线， ∴CE=BC=×8=4 . （2）当AE为∠BAC的平分线时，若∠C=66°，∠DAE=15°，求 ∠B 的度数. 解：∵AD为边BC 上的高， ∴∠ADC=90°. ∵∠C=66° ， ∴∠CAD=90° ∠C=90° 66°=24° . ∵∠DAE=15°， ∴∠CAE=∠DAE+∠CAD=15°+24°=39° . ∵AE为∠BAC 的平分线， ∴∠BAC=2∠CAE=2×39°=78° . ∴∠B=180° ... ...
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