巧用一元二次方程根的性质解题专题提优特训3提优训练 （含答案）

巧用一元二次方程根的性质解题专题提优特训3 中小学教育资源及组卷应用平台 题型1 确定方程中的参数 1.设x ,x 是方程 0的两个根，且 则 m 的值为 . 2.已知 是关于x的一元二次方程 4x-5=0 的一个根,若 求m 的值. 题型2 求代数式的值 3.若m,n 是方程 2024=0的两个实数根，则 的值为( ). A. 2023B. - 2022 C. 2024 D. 2022 4.已知:α,β是方程 2x--4=0有两个实数根.求出下列代数式的值. (1)α+β(α+1); 题型3 求公共根的问题 5.已知方程 与方程 有且只有一个公共根. 求证：这两个方程的另两个根(除公共根外)是方程 的根. 题型4 证明等式 6.已知x ,x 是方程 的两根，记 x ,求证:( 配方法的应用 题型1 用于解一元二次方程 1.用配方法解方程 4x-1=0,方程应变形为( ). 2.用配方法解方程： 题型2 用于因式分解 3.阅读下面内容，再解决问题. 在把多项式 进行因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但是经过变形，可以利用完全平方公式进行分解： 2n)，像这样构造完全平方式的方法我们称之为“配方法”，利用这种方法解决下面问题. (1)把多项式因式分解： (2)已知a,b,c 为△ABC 的三条边长,且满足 试判断△ABC的形状. 题型3 用于求代数式的值 4.设a,b为整数,且 求 的值. 5.设 求 的值. 6.已知 求代数式 的值. 题型4 用于求一元二次方程中的待定系数 7.若方程 的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为( ). A. - 9或 11 B. - 7或8 C. - 8或9 D. - 6或7 8.已知方程 的两根的差的平方是16,求m的值. 题型5 用于判断三角形的形状 9.阅读材料：若 求m,n的值. 解： 根据你的观察，探究下面的问题： (1)若 ,则a= ,b= ; (2)已知△ABC的三边长a,b,c 都是正整数,且满足 求△ABC的周长； (3)已知a,b,c 分别是△ABC 三边的长且 请判断△ABC的形状，并说明理由. 题型6 用于求代数式的最值 10.证明：无论 x 为何值，代数式 的值恒大于0. 11.如图，现有一条长为27 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为 10 m)，围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设垂直于墙的边AB长为 xm,花圃的面积为S m . (1)用含x的代数式表示S. (2)若围成面积为54 m 的花圃,求AB 的长. (3)能围成面积为 63 m 的花圃吗 如果能，请求出 AB 的长；如果不能，请说明理由. 题型7 用于比较两个代数式值的大小 12.阅读下列材料： 这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如： 4x+5≥1. 试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空:x --6x+12=(x- ) + ; (2)已知a,b,c 是△ABC 的三边长,满足 ,且 c 是△ABC 中最长的边，求c 的取值范围； (3)比较代数式 与2xy+4y-8的大小. 题型8 用于解特殊的方程 13.解方程: 14.求方程 的正整数解. 15.探索方程 的解法，并解方程. 题型9 用于判断方程根的情况 16.已知△ABC 的三边长为a,b,c,且满足方程 试判断此方程根的情况. 题型10 用于数值的正负性的判断 17.已知 证明：无论x，y取什么实数，M的值一定是正数. 1.2 [解析]由根与系数的关系，得 n 2.将x=n代入方程，得 即 4n=5,所以 ,即m=1. 3. D [解析]∵m,n是方程. 的两个实数根,∴m +2m--2024=0,m+n=-2, n=2024-2=2022.故选 D. 单关键提醒 本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，将所求的代数式变形，灵活运用根的定义以及根与系数的关系是解题的关键. 4.∵α,β是方程 有两个实数根， β)=4+2×(-2)=4-4=0. ■解后反思 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是把求值的代数式转化成含α+β与α·β的式子. 5.设方程 的两根为α，β， 方程 的两根为α，γ，其中α为两方程的公共根， 则 ①--②,得( ∵两个方程只有一个公共根， 解得α=a .由一元二次方程根与系数的关系，得 所以 ∴β,γ是方程 的两根. 6.∵x ,x 是方程 的两根， 专题提优特训4 配方法的应用 1. D ... ...