6.1.2 课时2 导数的几何意义 课件（21张PPT）

6.1.2 课时2 导数的几何意义 人教B版(2019)选择性必修第三册 1.掌握导数的几何意义，并能求切线斜率、切线方程等. 求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤 问题：(1)函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 ，你能说出它的几何意义吗？ 表示过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线. (2)当Δx变化时，直线如何变化？ 直线AB绕点A转动. (3)当Δx→0时，直线变化到哪里？ 直线过点A与曲线y＝f(x)相切位置. 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. 思考1:如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程? 根据导数的几何意义，求出函数y=f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程. 思考2:曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同? 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k=f'(x0)，利用点斜式写出切线方程即可； 而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点. 思考3:曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点? 不一定.曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线l与曲线y=f(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示. 解：∵P(2，4)在曲线y=13x3+43上， ∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为 k=limΔ????→013(2+Δ????)3+43?13×23+43Δ????=limΔ????→04+2Δ????+13(Δ????)2=4. ∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2)， 即4x-y-4=0. ? 例1 已知曲线y=13x3+43，求曲线在点P(2，4)处的切线方程. ? 变式：已知曲线y=13x3+43，求曲线过点P(2，4)处的切线方程. ? 解：设曲线y=13x3+43与过点P(2，4)的切线相切于点A????0，13????03+43， 则切线的斜率为k=limΔ????→013(????0+Δ????)3?13????03Δ????=????02， ∴切线方程为y-13????03+43=????02(x-x0)，即y=????02·x-23????03+43. ∵点P(2，4)在切线上，∴4=2????02-23????03+43，即????03-3????02+4=0. ? ∴????03+????02-4????02+4=0， ∴????02(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0， ∴(x0+1)(x0-2)2=0， 解得x0=-1或x0=2. 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. ? 变式：已知曲线y=13x3+43，求曲线过点P(2，4)处的切线方程. ? 1.求曲线在某点处的切线方程时，该点就是切点，因此可直接求出切线斜率，写出切线方程. 2.求过曲线上某点的切线方程时，要注意该点不一定是切点.因此，在解题时要先设出切点，再求出切线斜率，根据切点与斜率写出切线方程，最后将该点的坐标代入.在解题过程中不必考虑该点是否为切点. 归纳总结 例2 已知函数y1=f(x)=x2-1在x=x0处的切线与函数y2=g(x)=1-x3在x=x0处的切线互相平行，求x0的值. 方法总结 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0). (2)求导函数f'(x). (3)求切线的斜率f'(x0). (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标. 借助曲线的切线，我们还可以从几何上来理解瞬时变化率的实际意义，并可以利用某一点的导数来估计这一点附近的函数值，具体过程如下. 如果函数????=????(????)在????0处的导数为????′(????0)，且在????0处自变量的改变量为?????，对应的函数值改变量为 ?????=????????0+??????????(????0), 则 ????????0+?????=????????0+????? ? 此时曲线????=????(????)在????0处的切线l的斜率为????′(????0)，因此 AC=?????，CD=????′(????0) ?????. 又因为BC=?y,可以看出，当?????很小时，?????可用????′(????0) ?????来近似表示，即 ?y≈????′( ... ...