2024-2025学年吉林省延边二中高一（下）第一次段考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则( ) A. B. C. D. 2.设，为一组基底，已知向量，，若，，三点共线，则实数的值是( ) A. B. C. D. 3.在中，角，，所对边分别为，，，且，( ) A. B. 或 C. D. 或 4.已知平面向量，满足，且，，则向量与的夹角为( ) A. B. C. D. 5.已知，向量与向量的夹角为，是与同向的单位向量，则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 6.已知，，点在直线上，且，则点的坐标为( ) A. 或 B. C. 或 D. 7.中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状是( ) A. 等腰三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 8.在中，，，是的中点，与交于点，若，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A. 复数的共轭复数的模为 B. 复数在复平面内对应的点在第一象限 C. 复数是方程的解 D. 10.若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 11.东汉末年的数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”如图，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形我们通过类比得到图，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形对于图下列结论错误的是( ) A. 这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则 D. 若是的中点，则的面积是面积的倍 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，，若，则 ． 13.如图，在海面上有两个观测点，，点在的正北方向，距离为，在某天：观察到某航船在处，此时测得，分钟后该船行驶至处，此时测得，，，，则该船行驶的距离为_____． 14.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，若，则的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数． 若复数为纯虚数，求实数的值； 若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 16.本小题分 已知向量和，则，，求： 的值； 的值； 与的夹角的余弦值． 17.本小题分 的内角，，的对边分别为，，，已知． 求； 若，的面积为，求的周长． 18.本小题分 折纸是一项玩法多样的活动通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识在纸片中，，，所对的边分别为，，，的面积为，． 证明：； 若，求的值； 在的条件下，若，是的中点，现需要对纸片做一次折叠，使点与点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积． 19.本小题分 如图，设，是平面内相交成角的两条射线，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系在仿射坐标系中，若，记． 在仿射坐标系中， 若，求； 若，且，的夹角为，求； 如图所示，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，，，分别为，中点，求的最大值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：若复数为纯虚数，则且，解得； 因为复数在复平面内对应的点在第二象限， 所以，解得，可得． 所以实数的取值范围为． 16.解：，，， ； ， ； ， ． 17.解：的内角，，的对边分别为，，， 又， 得， 则， 整理得， 而， 则，又 ， 所以． 由， 得， 即， 结合余弦定理可得：， 整理得， 因此， 解得， 所以的周长为． 18. 19.解：因为，所以，则， 所以； 由 ... ...
