2024-2025学年山东省菏泽一中（八一路校区）高二（下）第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若函数在处可导，且，则( ) A. B. C. D. 2.甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，则甲、乙两人中间恰好有两人的站法有( ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为( ) A. B. C. D. 4.函数的大致图象是( ) A. B. C. D. 5.已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：导函数的图象如图所示；唯一的零点是则的解集为( ) A. B. C. D. 6.已知函数，则( ) A. B. C. D. 7.在上的导函数为，，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 8.已知对恒成立，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 10.设函数，则( ) A. 函数有两个极值点 B. 函数有两个零点 C. 直线是曲线的切线 D. 点是曲线的对称中心 11.设函数，则( ) A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在，，使得为曲线的对称轴 D. 存在，使得点为曲线的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数在处有极值，则实数 _____． 13.若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是_____． 14.对于函数，，若对任意的，存在唯一的使得，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 名男生和名女生站成一排． 甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ 男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？ 甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 16.本小题分 已知函数． 若，求曲线在点处的切线方程； 证明：当时，． 17.本小题分 已知函数，其中． 若的图象在处的切线经过点，求的值； 讨论的单调性． 18.本小题分 已知函数． 求函数的单调区间； 求证：函数的图象在轴上方． 19.本小题分 已知函数． 求的单调区间； 若在区间内有最小值，求的取值范围； 若关于的方程有两个不同的解，，求证：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：分两步， 先排甲有种， 其余有种， 则共有种排法； 分三步， 捆绑法，现将女生甲与女生乙捆绑在一起；种， 将女生甲和女生乙看成整体，与其他人除去男生甲和男生乙排列，有种， 插空法，在其他人排好的基础上，将男生甲和乙插空共有个空位置，有种， 综上所述，种； 人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法， 因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法， 故共有种排法． 16.解：当时，，则， 得，又， 所以切点为， 所以切线方程为， 即． 证明：因为，所以， 所以， 令， 所以， 令， 所以， 因为，时，， 所以， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以， 即． 17.解：， 因为，， 所以的图象在处的切线方程为， 将代入得，解得； ， 当时，，令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 当时，令，得或；令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减． 当时，，所以在上单调递增． 当时，令，得或；令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减． 综上 ... ...
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