2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔八中高二（下）3月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.为等差数列的前项和，已知，则为( ) A. B. C. D. 2.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为( ) A. B. C. D. 3.在等差数列中，前七项之和为，最后七项之和为，前项之和是，则项数为( ) A. B. C. D. 4.数列中，，，则的值为( ) A. B. C. D. 5.在递增的等比数列中，，，则数列的公比为( ) A. B. C. D. 6.已知数列的前项和为，满足，则( ) A. B. C. D. 7.在数列中，，，则( ) A. B. C. D. 8.已知斜率为的直线过抛物线：的焦点，且从上到下与依次交于、两点，，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知数列的通项公式为，则( ) A. B. C. D. 10.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支相交于，两点，则( ) A. 直线：与恰有两个公共点 B. 若，则的面积为 C. 双曲线：的焦点在以为直径的圆上 D. 若，则的周长为 11.已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有( ) A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 若，则数列的前项和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知各项为正数的数列是等比数列，且其前项和为若，，则公比 _____． 13.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点，若的周长为，则的离心率为_____． 14.若数列的通项公式为，则数列的前项和为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知数列为等差数列，，． 求数列的通项公式； 求数列前项和的最大值． 16.本小题分 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，，为上一点，且． 证明：平面． 求平面与平面夹角的余弦值． 17.本小题分 已知抛物线：，斜率为的直线交抛物线于，两点，且． 求抛物线的方程； 试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 18.本小题分 已知为数列的前项和，，且且 证明：是等比数列，并求数列的通项公式； 若，记为数列的前项和，求证：． 19.本小题分 某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立． 若比赛规则为： 每局比赛后，胜者获得分，负者获得分； 连续局获胜或积分率先达到分者可获得冠军，比赛结束已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为求甲乙决出冠军时比赛局数的分布列与数学期望； 若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为已知甲乙进行了局比赛且甲胜了局，试给出的估计值表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值． 若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.解：证明：以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． ， 设平面的一个法向量为， 则，则，即， 令，得，，则． 又，可得， 因为平面，所以平面． 易知， 设平面的一个法向量为， 则，则，即， 令，，，则． 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为． 17.解：根据在抛物线上，那么，解得， 因此抛物线为． 如图， 存在点在上， 设点， 根据直线的斜率为，且过， 那么直线为：，所以， 联立直线和抛物线可得，可得，解得或， 所以可得点的纵坐标为，代入，得，所以， 若，则，即， 又， 则可得， 整理得，，解得，或，或，或， 当时，与重合，舍去， 当时，与重合，舍去， 当时，， 当时，． 综上，抛物线上存在点，为和时，． 18. 19.解 ... ...
