§1.4 基本不等式 课标要求 1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立. (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 2.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式ab≤与≤等号成立的条件是相同的.( × ) (2)y=x+的最小值是2.( × ) (3)若x>0，y>0且x+y=xy，则xy的最小值为4.( √ ) (4)函数y=sin x+，x∈的最小值为4.( × ) 2.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值，则a等于( ) A.1+ B.1+ C.3 D.4 答案 C 解析 当x>2时，x-2>0，f(x)=(x-2)++2≥2+2=4，当且仅当x-2=(x>2)，即x=3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x=3，即a=3. 3.已知00， 所以x(1-x)≤=， 当且仅当x=1-x，即x=时，等号成立， 故x(1-x)的最大值为. 4.(2025·滨州模拟)已知正数a，b满足a+b=1，则+的最小值为 . 答案 9 解析 由题意得a>0，b>0且a+b=1， 所以+=(a+b)=5++≥5+2=9， 当且仅当=，即a=2b=时等号成立. 所以+的最小值为9. 谨防两个易误点 (1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等式的条件必须相同，否则会造成错误. (2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值. 题型一 直接法求最值 例1 (1)(多选)(2025·广州模拟)下列代数式中最小值为2的是( ) A. + B.2x+2-x C.y=|sin x|+ D.+ 答案 BC 解析 选项A中，当ab<0时，函数y= + <0，不符合题意； 选项B中，2x+2-x≥2=2，当且仅当x=0时，等号成立，满足题意； 选项C中，在y=|sin x|+中，|sin x|>0，所以y=|sin x|+≥2=2，当且仅当|sin x|=1时，等号成立，满足题意； 选项D中，+≥2=2，当且仅当=时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意. (2)(2025·青岛统考)若1≤x≤4，则的最大值为( ) A.4 B. C.2 D.2 答案 A 解析 因为1≤x≤4，所以6-x>0，x+2>0， 所以≤=4， 当且仅当6-x=x+2，即x=2时取等号， 所以的最大值为4. 思维升华 对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正：符合基本不等式≥ 成立的前提条件为a>0，b>0 ；二定：不等式的一边转换为定值；三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立.以上三点缺一不可. 跟踪训练1 (1)函数y=(x>0)的最大值为( ) A.-3 B. C.3 D.1 答案 C 解析 因为x>0，所以y==≤=3， 当且仅当4x=，即x=时，等号成立，故原函数的最大值为3. (2)若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为( ) A.1 B. C.2 D.2 答案 D 解析 由xy=1得x2+2y2≥2=2， 当且仅当x2=2y2，即x2=，y2=时等号成立，x2+2y2取得最小值2. 题型二 配凑法求最值 例2 (1)已知00， 则f(x)=4x+=4(x+1)+-4 ≥2-4=12-4=8， 当且仅当即x=时，等号成立， 故函数f(x)=4x+，x∈(-1，+∞)的最小值为8. 延伸探究 在例2(2)中，若把“x∈(-1，+∞)”改为“x∈(-∞，-1)”，求f(x)的最大值. 解 ∵x∈(-∞，-1)， ∴x+1<0，∴-(x+1)>0， ∴f(x)=4x+=4(x+1)+-4 =--4 ≤-2-4 =-2×6-4=-16， 当且仅当-4(x+1)=，即 ... ...
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