§1.5 基本不等式的综合应用 课标要求 1.掌握基本不等式及其常见变形.2.会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用.4.掌握基本不等式在其他知识中的应用. 题型一 基本不等式的常见变形应用 例1 (1)若a>1，b>1，且a≠b，则a2+b2，2ab，a+b，2中的最大值是( ) A.a2+b2 B.2ab C.a+b D.2 答案 A 解析 因为a>1，b>1，所以a2+b2>a+b， 根据基本不等式可知a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立， 因为a≠b，所以a2+b2>2ab， 同理a+b>2， 综上所述，上述四个式子中的最大值为a2+b2. (2)(2024·桂林模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为( ) A.≥(a>0，b>0) B.a2+b2≥2(a>0，b>0) C.≤(a>0，b>0) D.≤(a>0，b>0) 答案 D 解析 由题意知圆O的半径r=OF=AB=， 又由OC=OB-BC=-b=， 在Rt△OCF中，可得FC2=OC2+OF2=+=， 因为FO≤FC，所以≤，当且仅当a=b时取等号. 思维升华 基本不等式的常见变形 (1)ab≤≤(a，b∈R). (2)≤≤≤(a>0，b>0). 跟踪训练1 (多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是( ) A.≥ B.≤ C.≤ D.ab≤ 答案 BD 解析 A选项，由选项可知a与b同号，当a>0且b>0时，由基本不等式可知≥恒成立，当a<0且b<0时，<0，>0，该不等式不成立，故A选项错误； B选项，当a+b>0时，>0，则-==≤0恒成立，即≤恒成立，当a+b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确； C选项，当a+b>0时，2ab-=≤0，即2ab≤≤恒成立，当a+b<0时，2ab-=≤0，即2ab≤≥，故C选项错误； D选项，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D选项正确. 题型二 与基本不等式有关的恒(能)成立问题 例2 (1)已知a>0，b>0，若不等式≤恒成立，则m的最大值为( ) A.4 B.6 C.8 D.9 答案 A 解析 因为a>0，b>0，≤恒成立， 即m≤==++2恒成立，即m≤， 又因为++2≥2+2=4， 当且仅当=，即a=b时取等号， 所以m≤4，所以m的最大值为4. (2)若两个正实数x，y满足4x+y=2xy，且不等式x+2，解得m<-1或m>2， 所以实数m的取值范围是(-∞，-1)∪(2，+∞). 思维升华 x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a； x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a. 跟踪训练2 (1)已知a>0，若关于x的不等式x+≥3在x∈(-1，+∞)上恒成立，则a的最小值为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案 C 解析 因为x>-1，x+1>0， 所以x+=x+1+-1 ≥2-1=2-1， 当且仅当x+1=，即x=-1时取等号， 所以x+有最小值2-1， 因为不等式x+≥3在x∈(-1，+∞)上恒成立，所以2-1≥3， 解得a≥4，所以a的最小值为4. (2)若存在x∈(0，2]，使不等式ax2-2x+3a<0成立，则实数a的取值范围是( ) A.a< B.0≤a≤ C.a> D.a> 答案 A 解析 当x∈(0，2]时，由ax2-2x+3a<0， 可得a(x2+3)<2x，由题意得a<， 因为=≤=，当且仅当x=(x>0)，即x=时，等号成立， 所以当x∈(0，2]时，的最大值为， 故a<. 题型三 基本不等式的实际应用 例3 随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行驶速度不低于60 km/h)测试发现：①汽车每小时耗电量P(单位：kW·h)与速度v(单位：km/h)的关系满足P(v)=0.002v2-0.04v+5(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大 ... ...
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