中小学教育资源及组卷应用平台 集合（精讲） 考向一 元素的互异性 【例1-1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（ ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【解析】因为所以或， 当时，，此时，，故舍去： 当时，解得或（舍去）， 综上．故选：B 【例1-2】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（ ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【解析】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以.故选：C 【变式】 1．（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（ ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【答案】C 【解析】由元素和集合关系可知：或或，解的或或， 由集合的性质可知，当时，不满足互异性，所以的取值为或.故选：C. 2.（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则 . 【答案】 【解析】在中，，则且， 而，，显然，因此，解得，所以.故答案为： 3.（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则 ． 【答案】1 【解析】由已知得，则，所以，于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故，所以．故答案为：1. 考向二 无参集合间的关系 【例2-1】（2024·福建福州）已知集合，则下列关系中，正确的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合， 对于A，因为，故选项A错误； 对于B，是一个集合，且，故选项B错误； 对于C，因为集合，所以集合与集合不存在包含关系，故选项C错误； 对于D，因为集合，任何集合都是它本身的子集，所以，故选项D正确， 故选：D. 【例2-2】（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，显然为奇数， 而，所以 .故选：C 【变式】 1.（2024·广东·一模）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由集合，，得.故选：D 2（浙江省金华市十校2025届高三下学期4月模拟考试数学试题）设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以.故选：D. 3.（23-24黑龙江大庆·开学考试）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由解得，由解得， 所以，， 所以，，， 又，所以，故选：B 考向三 无参集合间的运算 【例3-1】（2025·天津南开·一模）若集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，，则. 故选：A 【例3-2】（2025高三下·全国·专题练习）（多选）已知全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于选项A：由，得4，所以，则，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：由于，故，故C正确； 对于选项D：由于，故，故D错误 故选：BC 【变式】 1.（2024·辽宁·二模）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，所以，故选：B 2（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知集合，且，则集合B可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，显然A中集合不合题意； B中集合为或，也不合题意， C中集合为，满足题意， D中集合为，不合题意. 故选：C 3.（24-25高三上·甘肃白银·期末）（多选）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题易知，，所以，， 所以，，，故选项A错误，选项B，C，D正确. 故选：BCD. 4.（2025海南）（多选）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为， 所以，故A错误； ，故B正确； 因为， 所以，故C错误； ，故D正确.故选：BD. 考向四 （真）子集的个数 【例4-1】（2025·湖北武汉·一模）已知集合，，则的子集个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，，则，则子集的个数为个，故选：B. 【例4-2】（2025·河北沧州·一模）集合的真子集个数 ... ...
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