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课件网) 专题八 半角模型 类型一 90°角夹45°角 （1）等腰直角三角形夹半角：如图，在△ABC中，AB＝AC， ∠BAC＝90°，∠DAE＝45°→将△ABD绕点A旋转至△ACF，使AB 与AC重合，连接EF→△AEF≌△AED. （2）正方形夹半角：如图，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°→ 将△ADF绕点A旋转至△ABG，使AD与AB重合→△AEG≌△AEF. 1. 数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图①，把一个含有45°角的三 角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重 合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边 AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN. （1）如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到 点H在直线AB上，求证：∠CNM＝∠CNH； 证明：（1）∵△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH， ∴CM＝CH，∠DCM＝∠BCH. ∵四边形ABCD为正方形，∴DCB＝90°.∵∠MCN＝45°， ∴∠DCM＋∠BCN＝∠DCB－∠MCN＝45°， ∴∠BCH＋∠BCN＝45°，∴∠MCN＝∠HCN＝45°. 在△MCN和△HCN中，CM＝CH，∠MCN＝∠HCN，CN＝CN， ∴△MCN≌△HCN（SAS），∴∠CNM＝∠CNH. （2）在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F，求证： △CEF∽△CNM. （2）由（1）可得∠CNM＝∠CNH. ∵四边形ABCD是正方形，BD是 对角线，∴∠FBN＝∠MCN＝45°， ∴△FBN∽△HCN∽△MCN，∴∠BFN＝∠CMN. ∵∠BFN＝ ∠CFE，∴∠CFE＝∠CMN. 又∵∠FCE＝∠MCN，∴△CEF∽△CNM. 2. （1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E，F在 BC上，且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2＋CF2； （1）证明：如图①，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACM，连 接MF， 则△ACM≌△ABE， ∴CM＝BE，AM＝AE，∠ACM＝∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠MCF＝90°，即△MCF为直角三角形. 又易得△AMF≌△AEF（SAS），∴MF＝EF. 在Rt△MCF中，MF2＝MC2＋CF2，∴EF2＝BE2＋CF2. （2）如图②，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且 ∠EAF＝∠CEF＝45°，若BE＝3，DF＝1，求EF的长. （2）解：如图②，分别延长AD，AB与直线EF交于点M，N，将 △AFM绕点A顺时针旋转90°得到△AGN，连接EG. ∵∠CEF＝45°，四边形ABCD是矩形，∴△DMF，△BEN都是等腰 直角三角形， ∴MF＝ DF＝ ，NE＝ BE＝3 . 由（1）可得EF2＝EG2＝MF2＋NE2，∴EF2＝ ＋ ＝ 20，EF＝2 . 3. 如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，且 ∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H. （1）求证：MN＝BM＋DN，AH＝AB； （1）证明：如图，将△ADN旋转至△ABE，则△ADN≌△ABE， ∴AE＝AN，∠BAE＝∠DAN，∠ABE＝∠D＝90°，∴∠ABE＋ ∠ABM＝180°， ∴E，B，M三点共线.∵∠MAN＝45°， ∴∠DAN＋∠BAM＝45°， ∴∠BAE＋∠BAM＝45°，即∠MAE＝45°， ∴∠MAE＝∠MAN. 又∵AE＝AN，AM＝AM，∴△AEM≌△ANM （SAS）， ∴MN＝ME＝BM＋BE＝BM＋DN，∴S△AEM＝S△ANM，∴ MN·AH ＝ ME·AB，∵MN＝ME，∴AH＝AB. （2）若BM＝2，DN＝3，求AH的长. （2）解：设AH＝x.由（1）可得正方形的边长为x.∵BM＝2，DN＝ 3，∴CM＝x－2，CN＝x－3. 由（1）可得MN＝BM＋DN＝2＋3＝5.∵CN2＋CM2＝MN2，即（x－ 3）2＋（x－2）2＝25， 解得x1＝6，x2＝－1（舍去），∴AH的长为6. 类型二 120°角夹60°角 如图，AB＝AC＝BC，BD＝CD，∠BDC＝120°，∠EDF＝ 60°→将△BDE绕点D旋转至△CDG，使DB与DC重合，连接 EF→△DFG≌△DFE. 1. 如图，D是等边三角形ABC外一点，且BD＝CD，∠BDC＝ 120°，M，N分别是边AB，AC上一点，且∠MDN＝60°. （1）探索线段BM，MN，CN之间的数量关系，并说明理由； 解：（1）MN＝BM＋CN. 理由如下： 如图，将△MDB绕点D旋转至△HDC，则△HDC≌ ... ...
