7.3　定义、命题、定理 分层练习（学生版+答案版）2024-2025学年人教版数学七年级下册

7．3　定义、命题、定理 1．定义：我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述．例如：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；这样的描述称为数学对象的__定义__． 2．判定一件事情的语句，叫作__命题__．__命题__是由题设和__结论__两部分组成的，题设是已知事项，__结论__是由已知事项推出的事项． 3．像这样可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句，叫作__命题__．被判断为正确(或真)的命题叫作__真命题__，被判断为错误(或假)的命题叫作__假命题__. 4．命题通常写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后接的部分是__题设__，“那么”后接的部分是__结论__． 5．定理：经过推理证实得到的真命题，叫__定理__． 6．证明：一个命题的正确性需要经过__推理__才能作出判断，这个__推理__过程叫作证明. 考点1　命题的改写　 【典例1】将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出题设与结论． (1)两直线平行，内错角相等； (2)平行于同一条直线的两条直线平行． 解：(1)改写后的命题是：如果两直线平行，那么内错角相等． 命题的题设是“两直线平行”，结论是“内错角相等”； (2)改写后的命题是：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 命题的题设是“平行于同一条直线的两条直线”，结论是“这两条直线平行”． 命题改写不是机械地添加“如果”“那么”，改写的具体要求是：①改写后命题的内容与改写前命题的内容应相同．②改写后命题要句子完整，语句通顺．③改写后命题的题设和结论要分得清楚，必要时要对原命题作一些“修饰”，补充上原来省略的成分．④当命题的题设和结论不够明显时，可以从命题究竟判断了一件什么样的事情入手进行分析，进而分清题设和结论． 【变式训练】 1．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，指出其条件和结论，并判断其真假．如果是假命题，举反例说明理由． (1)等角的余角相等； (2)异号两数相加得负数； (3)两点确定一条直线． (1)如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等，条件：两个角是等角的余角，结论：这两个角相等．是真命题； (2)如果异号两数相加，那么它们的和是负数，条件：异号两数相加，结论：这两个数的和是负数，举反例：如－3＋4＝1，是假命题； (3)如果过已知两点作直线，那么这样的直线有且只有一条，条件：过已知两点画直线，结论：能画且只能画一条．是真命题. 考点2　命题的证明　 【典例2】如图所示，在①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C这三个条件中，任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，并证明． 解：情况一题设：①②，结论：③； 证明：如图，∵DE∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C. 又∵∠1＝∠2， ∴∠B＝∠C； 情况二题设：①③，结论：②； 证明：如图，∵DE∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C. 又∵∠B＝∠C，∴∠1＝∠2. 本题考查了命题的定义，理解题设的结论是关键，在证明中要灵活运用平行线的判定与性质进行证明，要注意前后的逻辑关系. 【变式训练】 2．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F这三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题. (1)这三个命题中，真命题的个数为__3__； (2)选择一个真命题，并且证明．(要求写出每一步的依据) 如图，已知__①∠1＝∠2，②∠C＝∠D；∠A＝∠F__， 求证： 证明： (1)由①②，得③；由①③，得②；由②③，得①；均正确，故答案为3. (2)①∠1＝∠2，②∠C＝∠D；∠A＝∠F. 如图所示． ∵∠1＝∠2，∠1＝∠3(已知)， ∴∠3＝∠2(等量代换)， ∴DB∥EC(同位角相等，两直线平行)， ∴∠D＝∠4(两直线平行，同位角相等). ∵∠C＝∠D(已知)， ∴∠4＝∠C(等量代换)， ∴DF∥AC(内错角相等，两直线平行)， ∴∠A＝ ... ...