第三节 与圆有关的计算 考点一 弧长和扇形面积的有关计算 1．弧长的有关公式 (1)圆周长公式：C＝2πR． (2)弧长公式：l＝． 注意：①在弧长的计算公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用含π的式子表示． 2．扇形的定义及有关公式 (1)圆面积公式：S＝πR2． (2)扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． (3)扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝或S扇形＝lR(其中l为扇形的弧长)． 考点二 圆锥的有关计算 (1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面周长． (2)如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径为母线长l，扇形的弧长为底面圆的周长2πr．因此圆锥的侧面积为S侧＝πrl． 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，全面积为πr2＋πrl． 考点三 正多边形和圆的有关计算 (1)正多边形与圆的关系 把一个圆分成相等的一些弧，顺次连接几个分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． (2)正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． ②正多边形的半径：正多形的外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 1．(人教版九上P115复习巩固T2改编)某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为30 cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了( ) A．6π cm B．9π cm C．12π cm D．15π cm B [根据题意得：l＝＝9π(cm)， 则重物上升了9π cm．故选B．] 2．用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4 cm的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计)，则圆锥的母线长为( ) A．4 cm B．8 cm C．12 cm D．16 cm B [设半圆形铁皮的半径为r cm， 根据题意得πr＝2π×4， 解得r＝8，所以围成的圆锥的母线长为8 cm．故选B．] 3．(青岛版九上P108复习与巩固T2改编)若扇形半径为4 cm，面积为8 cm2，则它的弧长为_____cm． 4 [设弧长是l，则×4l＝8，解得l＝4．] 4．如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为_____(结果保留π)． [∠BAE＝＝108°， ∴阴影部分的面积为＝．] 5．(人教版九上P116综合运用T8改编)如图1是一块扇面形的砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120 cm，OB＝60 cm，则阴影部分的面积是_____cm2(结果用π表示)． 3 000π [S阴影＝S扇形AOD－S扇形BOC ＝ ＝ ＝3 000π(cm2)．] 命题点1 弧长的有关计算 【典例1】 (2023·临沂)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点． (1)求证：AE是⊙O的切线； (2)若∠ABC＝75°，BC＝2，求的长． [解] (1)证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OA＝OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA＝ ，∠OAC＝∠OCA＝， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOC＝2∠ABC， ∴∠AOB＝∠AOC， ∴＝， ∴∠OAB＝∠OAC， ∴AF⊥BC， ∵AE∥BC， ∴∠OAE＝∠AFB＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA， ∴AE是⊙O的切线． (2)∵∠ACB＝∠ABC＝75°， ∴∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°， ∴△BOC是等边三角形，∠COD＝180°－∠BOC＝120°， ∴OC＝BC＝2， ∴＝＝， ∴的长是． ... ...
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