第一节 圆的有关概念及性质 考点一 垂径定理及推论 1．圆的有关概念 (1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦． (2)直径：经过圆心的弦叫做直径．在同一个圆中，直径是半径的2倍，是圆中最长的弦． (3)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示． (4)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． (5)等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．半径相等的两个圆是等圆． (6)等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．等弧只能存在于同圆或等圆中． (7)劣弧、优弧：小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧，优弧用三个点表示． 2．垂径定理及推论 (1)垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)垂径定理的推论 推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 考点二 圆心角、圆周角定理及推论 1．圆心角、弧、弦之间的关系 定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 定理2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 注意：①在同圆或等圆中，如果弦不相等，那么弦心距也就不相等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距较大；反之，弦心距较小时，则弦较大．②在同圆或等圆中，不能认为大弧所对的弦也较大．只有当弧是劣弧时，这一命题才成立；当弧为优弧时，弧越大，其所对的弦越短． 2．圆周角定理及推论 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半． 推论2：同弧或等弧所对的圆周角相等． 注意：在同圆或等圆中，要证明两个圆周角相等，常借助于圆周角所对的弧是同弧或等弧进行证明． 推论3：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 考点三 三角形的外接圆及圆内接四边形 1．三角形的外接圆 定义：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． 2．圆内接四边形：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆． 定理：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角． 1．(青岛版九上P89练习T1改编)如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是( ) A．25° B．27.5° C．30° D．35° D [∵∠A＝60°，∠ADC＝85°， ∴∠B＝85°－60°＝25°，∠CDO＝95°， ∴∠AOC＝2∠B＝50°， ∴∠C＝180°－95°－50°＝35°． 故选D．] 2．(人教版九上P88练习T5改编)四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝60°，则∠C＝( ) A．60° B．80° C．100° D．120° D [∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝60°， ∴∠C＝180°－60°＝120°． 故选D．] 3．如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于( ) A．32° B．28° C．16° D．14° C [∵AB是半圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ADC＝106°， ∴∠BDC＝106°－90°＝16°， ∴∠CAB＝∠BDC＝16°． 故选C．] 4．(人教版九上P83练习T1改编)如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，AB＝16，则OC的长为_____． 6 [如图，连接OA． ∵OC⊥AB， ∴AC＝CB＝AB＝8， ∵OA＝10，∠ACO＝90°， ∴OC＝＝＝6．] 5．(人教九上P90综合运用T13改编)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形， ... ...
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