第五节 二次函数的应用 考点一 二次函数的实际应用 1．利用二次函数解决实际问题的一般步骤 (1)审：审清题意，理解问题； (2)找：分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； (3)列：用函数解析式表示它们之间的关系(建立数学模型)； (4)解：用数学方法求解； (5)验：检验结果的合理性； (6)答：写出问题的答案． 2．常见题型 (1)最值问题：在日常生活中，经常遇到求某种图形的最大面积、获取最大经济利润、怎样最节省开支等问题，利用二次函数的图象和性质，便可以解决这类问题，这就需要把这类问题转化为求二次函数的最值问题．解决该类问题的一般步骤为： (ⅰ)找：找题目中的数量关系； (ⅱ)列：列出函数关系式； (ⅲ)求：利用配方法将表达式化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式或利用公式法确定最值． (2)抛物线形问题：在实际生活中常遇到以下抛物线形问题：拱形桥洞、涵洞、隧道、拱形门、球类的运动路线、跳水运动员的跳水路线等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系，用待定系数法确定函数表达式，进而解决问题． 考点二 二次函数的综合应用 二次函数的综合题多与一元二次方程、不等式、几何知识综合在一起，考查较多的是面积问题、动点问题、存在性问题，难度大、综合性强． 1．一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋x＋，那么铅球推出后落地时距出手地的距离是( ) A． m B．4 m C．8 m D．10 m D [当y＝0时，－x2＋x＋＝0， 整理得x2－8x－20＝0， 解得x＝10，x＝－2(不合题意，舍去)， 故x＝10，即铅球推出后落地时距出手地的距离是10 m． 故选D．] 2．(青岛版九下P50例1改编)如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是_____平方米． 450 [由题意，设垂直于外墙的边长为x米，则平行于外墙的边长为(60－2x)米， 又墙长为40米， ∴0＜60－2x≤40． ∴10≤x＜30． 又菜园的面积S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x ＝－2(x－15)2＋450， ∴当x＝15时，可围成的菜园的最大面积是450， 即垂直于外墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米．] 3．(人教版九上P52T8改编)某酒店有A、B两种客房，其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天营业额为7 200元；若A、B两种客房均有10间入住，一天营业额为3 200元． (1)求A、B两种客房每间定价分别是多少元？ (2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲，当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？ [解] (1)设A种客房每间定价是x元，B种客房每间定价是y元， ∴ ∴ 答：A、B两种客房每间定价分别是200元、120元． (2)由题意，设A种客房每间定价为m元， ∴W＝m＝－(m－220)2＋4 840． ∵－＜0， ∴当m＝220时，W取最大值，最大值为4 840． 答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4 840元． 命题点1 二次函数的实际应用 【典例1】 (2024·济宁)某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元/件)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ [解] (1)由题意，设一次函数的解析式为y＝kx＋b， 又过(100，300)，(120，200)， ∴ ∴ ∴所求函数解析式为y＝－5x＋800． (2)由题意得， ∴100≤x≤116． ∵商场获得的利润为(x－80)(－5x＋800) ＝－5x2＋ ... ...
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