(
课件网) 题型二 二次函数的图像与性质 【典例1】 (2024·东营)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，如图所示，则下列结论正确的是( ) A．abc＜0 B．a－b＝0 C．3a－c＝0 D．am2＋bm≤a－b(m为任意实数) 类型一 二次函数的图象与系数的关系 √ 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中， a，b，c，Δ的作用 字母 字母的符号 图象的特征 a a> 0 开口向上 a < 0 开口向下 b b＝0 对称轴为y轴 a，b同号 对称轴在y轴的左侧 a，b异号 对称轴在y轴的右侧 字母 字母的符号 图象的特征 c c＝0 经过原点 c>0 在x轴的上方(与y轴的正半轴相交) c<0 在x轴的下方(与y轴的负半轴相交) Δ Δ＝0 与x轴只有一个交点(顶点在x轴上) Δ>0 与x轴有两个交点 Δ<0 与x轴没有交点 [对点演练] 1．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，则a的取值范围是 ( ) A．a＞1 B．a＞2 C．0＜a＜1 D．0＜a＜2 √ √ √ ∵y＝ax2＋bx＋c＝a(x－1)2＋2， ∴将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到y＝a(x－1＋1)2＋2－2＝ax2，故④错误． 故选B．] √ 5．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1．下面结论： ①abc＜0； ②2a＋b＝0； ③3a＋c＜0； ④方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一个根大于－1且小于0．其中正确的是_____(只填序号)． ①②③④ ∵函数图象与x轴的正半轴交点在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是直线x＝1， ∴函数图象与x轴的另一个交点在点(0，0)和点(－1，0)之间， ∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一个根大于－1且小于0，故④正确． 综上，正确的结论是①②③④．] 【典例2】 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋m交于A(－3，－1)，B(0，3)两点．下列结论：①bc＜0；②b2－4ac＞0；③关于x的不等式ax2＋bx＋c≥kx＋m的解集是－3≤x≤0；④a2－ab＋ac＜0；⑤关于x的方程ax2＋bx＋c＋4＝0无解．其中正确的有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型二 二次函数与方程、不等式的关系 √ 由题干图象可知，关于x的不等式ax2＋bx＋c≥kx＋m的解集是x≤ －3或x≥0， 故结论③不正确，不符合题意； 由抛物线可知，当x＝－1时，抛物线y＝ax2＋bx＋c对应的函数值小于0， 即a－b＋c＜0， ∵a＞0，∴a(a－b＋c)＝a2－ab＋ac＜0， 故结论④正确，符合题意； 由抛物线可知，抛物线的最低点的纵坐标介于－3和－2之间， ∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－4没有交点， ∴关于x的方程ax2＋bx＋c＋4＝0无解， 故结论⑤正确，符合题意． 综上所述，正确的结论有3个． 故选C．] 二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根． 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴的交点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ (b2－4ac) 有两个交点 有两个相异的实数根 b2－4ac＞0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2－4ac＝0 没有交点 没有实数根 b2－4ac＜0 2．二次函数与一元二次不等式的关系 设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)，则当a＞0时，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是x＜x1或x＞x2，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是x1＜x＜x2；当a<0时，不等式ax2＋bx＋c>0的解集是x1
x2． [对点演练] 6．若二次函数y＝(k－1)x2＋4x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( ) A．k≤5 B．k≤5且k≠1 C．k≥5 D．k<5且k≠1 √ 7．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－3，9)，B(1，1)，则关于x的方程ax2－bx－c＝0的解为( ) A．x1＝－1，x2 ... ... 